Дифференциальные уравнения первого порядка

Как указывалось во введении, дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

.(11.1.4)

Обычно уравнение (11.1.4) стараются представить в форме, разрешенной относительно производной

,(11.1.5)

или в симметричной форме, содержащей дифференциалы

 (11.1.6)

От формы (11.1.5) легко можно перейти к форме (11.1.6) и наоборот.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.3 Решением дифференциального уравнения первого порядка называется всякая дифференцируемая функция ; которая

при подстановке в уравнение обращает его в тождество, то есть удовлетворяет этому уравнению , то есть .

Так, например, одним из решений уравнения является функция . В самом деле ; подставляя в уравнение, получаем . Можно проверить, что всякая функция вида , где произвольная постоянная, также является решением этого уравнения

Таким образом, мы видим, что дифференциальное уравнение имеет не одно решение, а много решений (см. пример 11.1.3 в 11.1.1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.4 Функция

 (11.1.7)

определенная в некоторой области изменения переменных и , называется общим решением дифференциального уравнения (11.1.5), если она удовлетворяет двум условиям: 1)равенство (11.1.7) разрешимо относительно произвольной постоянной , ; 2) функция (11.1.7) является решением уравнения (11.1.5) при всех значениях произвольной постоянной .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.5 Каждое отдельное решение дифференциального уравнения получающееся из формулы общего решения, когда произвольной постоянной придается конкретное числовое значение, называется частным решением дифференциального уравнениям.

Для нахождения конкретного числового значения произвольной постоянной требуют, чтобы искомая функция при некотором значении принимала заданные значения , которые называются начальными условиями, их записывают в виде или .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.6 Если общее решение дифференциального уравнения (11.1.5) задано в неявном виде или , то оно называется общим интегралом этого уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.7 Линия, соответствующая решению дифференциального уравнения, называется интегральной кривой.

Таким образом, геометрически общее решение уравнения (11.1.5), представляет собой семейство интегральных кривых, зависящих  от одного параметра . Частное решение есть одна из интегральных кривых этого семейства, проходящая через данную точку . Например, общее решение уравнения представляет собой семейство прямых, проходящих через начало координат, а частное решение есть прямая этого семейства, проходящая через точку (рис.11.2).

Действие определения решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

В теории дифференциальных уравнений изучаются методы интегрирования дифференциальных уравнений. Основная задача интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении всех решений этого уравнения.

ПРИМЕР 11.1.4 Уравнения имеют семейство решений , где произвольная постоянная. Интегральная кривая этого уравнения – парабола. В этом примере все решения представляют собой элементарные функции.

Дифференциальное уравнение (11.1.5) может быть истолковано геометрически следующим образом.

Пусть функции есть общее решение уравнения (11.1.5), то есть семейство интегральных кривых в некоторой области плоскости , в которой определена функция . Уравнение (11.1.5) устанавливает связь между координатами любой точки области и значением производной в этой точке. Задавая координаты и точки , можно из уравнения (11.1.5) найти значение производной, то есть угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через точку . Таким образом, дифференциальное уравнение (11.1.5) определяет совокупность направлений или, как говорят, поле направлений в области . Изображая направление в каждой точке области маленькой стрелкой, выходящей из этой точки, можно построить поле направлений дифференциального уравнения (11.1.5) (рис. 11.3). Геометрически задача интегрирования дифференциального уравнения (11.1.5) заключается в нахождении кривых, которые в каждой своей точке касаются направлении, задаваемого полем (кривые и ).

Нахождение решения дифференциального уравнения (11.1.5), удовлетворяющее начальным условиям , где и заданные числа, называется задачей Коши. С геометрической точки зрения, решить задачу Коши – найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку .

ПРИМЕР 11.1.5 Решить задачу Коши для уравнения при начальных условиях .

Решение.

Перепишем уравнение в виде . Отсюда, интегрируя, находим . Подставляя теперь начальные условия, получаем . Следовательно, решение задачи Коши имеет вид .

Решение задачи Коши всегда является частным решением.

Возникает вопрос: можно ли по виду правой части уравнения (11.1.5) сказать, имеет ли оно решение, удовлетворяющее выбранным начальным условиям, и будет ли это решение единственным? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

ТЕОРЕМА 11.1.1 Пусть функция непрерывна на прямоугольнике

и имеет на нем ограниченную частную производную , удовлетворяющее неравенству , где постоянное число. Тогда на отрезке , где

существует единственное решение уравнения (11.1.5), удовлетворяющее начальным условиям . Решение непрерывно и имеет непрерывную производную на отрезке .

Геометрически это означает, что через каждую внутреннюю точку проходит только одна интегральная кривая. Теорема существования и единственности применяется при решении многих прикладных задач. Так как в соответствии с ней, найдя решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, можно быть уверенным, что других решений нет, получаем единственный закон явления, который определяется дифференциальным уравнением и начальным условиям.