Дифференциальные уравнения второго порядка, интегрируемые понижением порядка

Задача интегрирования дифференциальных уравнений высших порядков является значительно более сложной, нежели задача интегрирования уравнений первого порядка. Для всех уравнений высших порядков одним из основным методом интегрирования является метод понижения порядка путем замены переменных, сведения данного уравнения к другому, имеющему порядок ниже заданного. Рассмотрим некоторые дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

1. Простейшим типом уравнения второго порядка, допускающее понижение порядка, является уравнение вида

.(11.1.16)

Для его решения положим , где неизвестная функция. Тогда уравнение (11.1.16) принимает вид:

Интегрируя это уравнение, получим  .

Так как , то , где c1c2 произвольные постоянные.

ПРИМЕР 11.1.20 .

Решение.

Интегрируя два раза, получим

или общее решение этого уравнения.

2. Уравнение вида

 (11.1.17)

не содержит явным образом искомой функции y.

Обозначим производную через , то есть положим , тогда .

Подставляя полученные выражения для в уравнение (11.1.17), получим уравнение первого порядка относительно неизвестной функции . Проинтегрировав это уравнение, находим его общее решение, а затем из соотношения получаем общий интеграл уравнения (11.1.17).

ПРИМЕР 11.1.21 .

Решение.

Положим , тогда , .

Полученное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим , откуда, интегрируя будем иметь . .

Но , тогда интегрируя последнее уравнение, получаем , где произвольные постоянные.

3. Уравнение вида

 (11.1.18)

не содержит явным образом независимого переменного x.

Положим ,(11.1.19)

но теперь будем считать функцией от . Тогда

(11.1.20)

Подставляя в уравнение (11.1.18) выражения для , получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции :

.

Интегрируя его, найдем как функцию от и произвольного постоянного :

.

Подставляя это выражение в равенство (11.1.19), получим дифференциальное уравнение первого порядка для функции от :

.

Разделяя переменные, получим . Интегрируя это уравнение, получаем общий интеграл исходного уравнения .

ПРИМЕР 11.1.22 Найти решение дифференциального уравнения .

Решение.

Положим , тогда , получаем уравнение первого порядка для функции : .

Решаем полученное уравнение ,

.

Приравнивая второй сомножитель к нулю, получаем . Разделяя переменные, имеем учитывая, что , имеем или , тогда , .

Итак, решением уравнения является функция .