Дифференциальные уравнения, интегрируемые в квадратурах

1. Уравнение, не содержащее искомой функции , в предположении, что его правая часть непрерывна в интервале , интегрируется в квадратурах. Его общее решение будет

.

ПРИМЕР 11.1.6 , тогда общее решение.

ПРИМЕР 11.1.7

Решение.

общее решение.

2. Уравнения, не содержащие независимой переменной

,

где определена и непрерывна в интервале и не обращается в этом

интервале в нуль. Тогда данное уравнение равносильно уравнению ; общее решение имеет вид .

ПРИМЕР 11.1.8

ПРИМЕР 11.1.9 итак, общий интеграл уравнения имеет вид .

3. Уравнения с разделенными переменными . В каждом суть функции, зависящие соответственно только от и только от , и непрерывная при рассматриваемых значениях и . Это уравнение интегрируется непосредственно: равенство является общим интегралом уравнения.

ПРИМЕР 11.1.10

Решение.

общий интеграл данного уравнения.

4. Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение вида , в котором коэффициенты при и являются произведениями функций, зависящих только от одной из переменных и , называется уравнением с разделяющимися переменными.

Предположим, что функции непрерывны при рассматриваемых значениях и . Тогда, умножая обе части уравнения на , получаем уравнение с разделяющимися переменными

.

Поэтому общий интеграл уравнения будет .

ПРИМЕР 11.1.11

Решение.

.

.