Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.10 Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно линейно (то есть первой степени) относительно искомой функции и ее производной.

Общий вид линейного уравнения

img001, (11.1.12)

где img002 и img003 непрерывные функции в некотором промежутке.

Если правая часть уравнения img004, то уравнение называется линейным однородным, в противном случае оно называется неоднородным. Однородное уравнение имеет вид

img005. (11.1.13)

Уравнение (11.1.13) не требует специального рассмотрения, поскольку оно является уравнением с разделяющимися переменными.

Произведем в уравнении (11.1.12) замену функции, положив img006.

Тем самым вместо img007 в качестве искомой функции введем новую функцию, например, img008. Поэтому вторую функцию img009 можно рассматривать как вспомогательное и выбирать его по своему усмотрению. Это и будет сделано в дальнейшем (будем считать, что img010 и img011 дифференцируемые функции).

Вычислим img012 и подставим выражения img013 и img014 через img015 и img016 в уравнение (1). Так как img017, то уравнение (11.1.12) примет вид

img018. (11.1.14)

Пользуясь тем, что функция img019 может быть выбрано произвольно, выберем ее так, чтобы выражение, содержащееся в скобках, обращалось в нуль, то есть потребуем, чтобы img020. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим img021, откуда, интегрируя, имеем: img022

или img023.

Так как ищем частное решение, можно положить img024, тогда

img025. (11.1.15)

Подставив выражение img026 в уравнение (3), получим для img027 уравнение с разделяющимися переменными

img028 img029

img030 ;(11.1.16)

Формулы (11.1.15) и (11.1.16) дают выражение img031 и img032 через img033; так как нам нужно найти зависимость img034 от img035; а img036, то окончательно получим

      img037.

Это есть общее решение линейного неоднородного уравнения первого порядка, то есть уравнения (11.1.12).

ПРИМЕР 11.1.15 img038

Решение.

Здесь img039. Сделаем подстановку img040, отсюда img041; подставляя img042 и img043 в данное уравнение, получим img044. Подберем функцию img045 таким образом, чтобы img046. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и, проинтегрировав, получим

img047 или img048 при img049

img050.

Итак, img051 общее решение данного уравнения.