Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Дано однородное дифференциальное уравнение второго порядка

,(11.1.37)

где постоянные действительные числа. Чтобы найти его общее решение, достаточно найти два линейно независимых частных решения.

Частное решение ищем в виде:

,(11.1.38)

где постоянная, тогда .

Подставляя полученные выражения производных и функции в уравнение (11.1.37), находим .

Так как для любого , то

.(11.1.39)

Уравнение (11.1.39) называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (11.1.37).

Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение относительно .

1. Корни характеристического уравнения действительные и различные. Эти корни обозначим через и . В этом случае частными решениями будет .

Эти решения линейно независимы, так как

.

Тогда общее решение имеет вид: , постоянные.

ПРИМЕР 11.1.25 Дано дифференциальное уравнение . Требуется найти его общее решение.

Решение.

Характеристическое уравнение имеет вид , его корнями являются числа Тогда общим решением будет функция .

2. Корни характеристического уравнения комплексные. Так как комплексные корни являются комплексно-сопряженными, то

, где .

Частные решения можно записать в виде

.(11.1.40)

Напишем комплексные решения (11.1.40) в виде суммы, выделяя действительные мнимые части:

Согласно свойству решений дифференциального уравнения (11.1.37) частными решениями будут функции

Функции линейно зависимы, тогда функция

будет общим решением уравнения (11.1.37), где произвольные постоянные.

ПРИМЕР 11.1.26 Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

Составляем его характеристическое уравнение

, находим его корни . Тогда общее решение есть .

3. Корни характеристического уравнения действительные и равные.

В этом случае так как .

Первое частное решение получается на основании предыдущих рассуждений.

Второе частное решение ищем в виде , где неизвестная функция, подлежащая определению.

Дифференцируя , найдем

.

Подставляя выражения производных функции в уравнение (11.1.37), получаем: , учитывая, что

находим, что . Интегрируя последнее уравнение, получим . Полагая, что , имеем .

Таким образом, в качестве второго частного решения можно взять .

Тогда функция будет общим решением уравнения (1), где произвольные постоянные.

ПРИМЕР 11.1.27 Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

Составим характеристическое уравнение . Найдем его корни: . Тогда будет общим решением этого уравнения.