Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка со специальной правой частью

Дано дифференциальное уравнение

,(11.1.41)

где действительные числа.

В предыдущих параграфах был дан общий метод нахождения общего решения неоднородного дифференциального уравнения. В этом параграфе покажем нахождение частных решений линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

1.,(11.1.42)

где многочлен ой степени, постоянная. Тогда возможны следующие случаи:

а) Число не является корнем характеристического уравнения

.

В этом случае частное решение нужно искать в виде

,    (11.1.43)

где коэффициенты, подлежащие определению.

Подставляя в уравнение (11.1.41) и сокращая все члены на множитель , имеем

.(11.1.44)

Слева и справа от знака равенства стоит многочлен й степени, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов .

б) Число есть простой корень характеристического уравнения. В этом случае частное решение нужно искать в виде

.

Неизвестные коэффициенты определяем так же как в пункте а.

в) Число двукратный корень характеристического уравнения. Тогда частное решение следует искать в виде

.

Неизвестные коэффициенты определяем так же как в пункте а.

2. Правая часть уравнения (11.1.41) имеет вид

, где постоянные.

а) Если число не является корнем характеристического уравнения, то частное следует искать в виде

, где числа, подлежащие определению.

б) Если число является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде

.

ПРИМЕР 11.1.28 Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

Составляем характеристическое уравнение , которое имеет корни , поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид .

Для этого случая , . Это число является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение неоднородного находим в виде

. Подставляя в дифференциальное уравнение и приравнивая коэффициенты при и , получаем систему уравнений для определения и : , откуда .

Тогда общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид .

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >