Однородные функции, однородные дифференциальные уравнения

Прежде чем давать определение однородного дифференциального уравнения, введем понятие об однородных функциях.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.8 Функция двух переменных называется однородной функцией порядка в области , если при любом выполняется следующее равенство

.

ПРИМЕР 11.1.12 Функция однородная функция третьего порядка, так как

.

ПРИМЕР 11.1.13 Функция однородная функция нулевого порядка .

Таким образом, для функции выполняется равенство . Отсюда следует, что функция называется однородной функцией нулевого порядка, если при умножении аргументов и на произвольный параметр значения функции не изменяются.

Отношение двух однородных функций одной переменной и того же порядка однородности является однородной функцией нулевой степени.

Однородная функция нулевого порядка может быть записана в виде

. Действительно, пусть однородная функция нулевого порядка. Так как параметр произвольный, то положим ; тогда . Теперь можно дать определение однородного дифференциального уравнения относительно и .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.9 Дифференциальное уравнение

     (11.1.8)

называется однородным, если является однородной функцией нулевого порядка.

Однородное уравнение можно привести к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой

     (11.1.9)

где новая дифференцируемая искомая функция. Дифференцируя (11.1.9), получим . Подставим выражения и в уравнение (11.1.8), тогда откуда или , , если , то или общий интеграл однородного уравнения.

ПРИМЕР 11.1.13

Решение.

Сделаем подстановку: ; подставляя в уравнение, получим

, разделив переменные, имеем общий интеграл.

Уравнение вида

    (11.1.10)

приводится к однородному, если приводится к уравнению с разделяющимися переменными, если

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Пусть введем новые переменные

     (11.1.11)

где и пока не известные постоянные. Найдем из (11.1.11). Подставляя выражения в данное уравнение, получим

; выберем теперь и таким образом, чтобы

     (11.1.12)

Тогда . Это однородное уравнение относительно переменных . Решая это уравнение, получим , но , . Значения и находим из системы (11.1.10);

она совместна, так как определитель этой системы .

2. Пусть теперь . Отсюда Подставляя значения и в уравнение (11.1.10), получим

.

Для разделения переменных введем новую функцию отсюда ; . Это уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными.

ПРИМЕР 11.1.14 ;

Решение.

Проверим .

Введем новые переменные ; уравнение примет вид

.

отсюда

это однородное уравнение.

Сделаем подстановку

Разделим переменные и проинтегрируем полученное уравнение:

;

.

Или возвращаясь к прежним переменны x и y, получим

.