Понятие о дифференциальных уравнениях

Математическое описание самых разнообразных процессов, происходящих в природе, приводит часто к уравнениям, связывающим независимую переменную, искомую функцию (одной переменной) и производные (дифференциалы) этой функции.

Такого рода уравнения называются дифференциальными.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.1 Если в дифференциальные уравнения входит только независимая переменная, функция от этой переменной и ее первая производная, то уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка. В общем виде его можно записать так:

.

Если оно разрешено относительно производной, то его можно записать в виде

Если дифференциальное уравнение содержит еще и производную второго порядка от искомой функции, то оно называется дифференциальным уравнением второго порядка.

или .

Аналогично дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, которое содержит производную n-го порядка, но не выше

,

.

Из вышеизложенного следует, что порядком дифференциального уравнения называется наивысший из порядков производных, входящих в это уравнение.

Во всяком дифференциальном уравнении неизвестной величиной, которую надо найти, является функция, входящая в уравнение вместе с некоторыми производными.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.2 Решением дифференциального уравнения го порядка в области D называется всякая функция , которая удовлетворяет этому уравнению, то есть

.

Рассмотрим несколько задач из различных областей естествознания, приводящих в процессе своего решения к дифференциальным уравнениям.

ПРИМЕР 11.1.1 Тело температуры помещается в среду с температурой . Тело начинает охлаждаться. Требуется найти формулу, по которой можно определить температуру тела в любой момент времени.

Решение.

Для математического описания этого процесса нужно выбрать независимую переменную; таковой в данном случае является время. Будем вести отсчет времени от того момента, когда тело поместим в среду температуры , начинается процесс его охлаждения. Искомой функцией в данном случае является меняющаяся со временем температура тела, обозначим ее .

Из физики известен следующий закон: скорость охлаждения какого-либо тела пропорциональна разности между температурами тела и среды. Но скорость охлаждения – это скорость изменения (убывания) температуры; скорость изменения какой-либо функции есть производная от этой функции. Таким образом, сформулированный выше закон можно математически записать следующим образом:

,  (11.1.1)

где коэффициент пропорциональности.

Соотношение (11.1.1) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка, из которого нужно найти выражение температуры через время . Для нахождения перепишем уравнение (11.1.1) в виде

или ,

но из интегрального исчисления мы знаем: если производные или дифференциалы двух функций равны, то сами функции отличаются друг от друга на

   (11.1.2)

Формула (11.1.2) дает выражение температуры как функция времени. Но в эту формулу входит произвольная постоянная , следовательно, формула (11.1.2) дает не один ответ на поставленный в задаче вопрос. Естественно ожидать, что при решении определенной задачи с конкретными заданными условиями должен получиться один определенный ответ. Но мы пока не использовали условие, что в начальный момент времени температура тела была . Используя это условие (начальное условие), мы получим из (11.1.2)

то есть

или C=Lnθ0. Подставляя найденное значение C в (11.1.2), получим

,

Таким образом, получили один определенный ответ на поставленный в задаче вопрос.

ПРИМЕР 11.1.2 Пусть два вещества и , находящиеся в растворе, вступают в необратимую химическую реакцию. Требуется найти формулу, по которой можно было бы подсчитать в любой момент времени количество вещества, уже вступившего в реакцию.

Решение.

Обозначим через и количество этих веществ (в грамм-молекулах на единицу объема) в начале реакции, то есть при , и через одинаковое количество того и другого вещества, уже вступившего в реакцию к моменту времени . В этот момент времени в единице объема находится a-x грамм-молекул вещества и грамм-молекул вещества . Известно, что по закону химического взаимодействия масс скорость химической реакции пропорциональна произведению . Так как скорость химической реакции есть скорость увеличения , то она является производной от по времени, поэтому закон химического воздействия масс может быть записан следующим образом:

,  (11.1.3)

где коэффициент пропорциональности.

Уравнение (11.1.3) есть дифференциальное уравнение перового порядка, где искомой функцией является .

Для того, чтобы найти , поступаем так же, как и в задаче

откуда

   

где . Используя начальное условие, получим

Отсюда найдем :

Эта формула и дает окончательное выражение для количества вещества, вступившего в реакцию к моменту времени .

ПРИМЕР 11.1.3 Найти кривые, обладающие в каждой точке тем свойством, что

отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится в точке

касания пополам.

Решение.

Пусть произвольная точка кривой, обладающая требуемым свойством (рис.1). .

Из треугольника имеем

, так как

(по теореме Фалеса),

, то приходим к соотношению

или ;
или

   

Решением является множество, зависящее от одного параметра семейства равносторонних гипербол, для которых оси координат служат асимптотами.

Не существует каких-либо общих правил для составления дифференциальных уравнений по условиям конкретной задачи. Условия задачи должны быть таковы, чтобы позволяли составить соотношение, связывающее независимое переменное, функцию и ее производную (или производные). Если это задача геометрического характера, то наличие в ее данных касательной (нормали) или некоторых связанных с ней отрезков дает возможность написать соотношение между координатами точек кривой и угловым коэффициентом кривой (пример 11.1.3). В задачах физического, механического или химического характера, в случае, если задается скорость какого-нибудь процесса, бывает возможно сразу написать соответствующее дифференциальное уравнение (примеры 11.1.1 и 11.1.2). В других случаях предварительно устанавливается соотношение между приращениями переменных, затем переходом к пределу получают дифференциальное уравнение.