Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

Функции img052 являются решениями уравнения

img053 (11.1.27)

на интервале img054.

ТЕОРЕМА 11.1.11 Если img055 — два линейно независимых решения уравнения (11.1.27), то

img056, (11.1.28)

где img057 произвольные постоянные, является его общим решением.

Доказательство. Из свойств решения уравнения (11.1.27) следует, что функция img058 является его решением.

Докажем, что каковы бы ни были начальные условия img059, img060, можно так подобрать значения произвольных постоянных img061, чтобы соответствующее частное решение img062 удовлетворяло заданным начальным условиям.

Подставляя начальные условия в равенство (11.1.28), имеем

img063 (11.1.29)

Система уравнений (11.1.29) имеет единственное решение так, как главный определитель этой системы

img064

есть определитель Вронского при img065 отличен от нуля согласно теоремы 11.10. Частное решение, которое получается из решения (11.1.28) при найденных значениях img066 удовлетворяет начальным условиям. Таким образом, теорема доказана.

ПРИМЕР 11.1.24 Написать общее решение дифференциального уравнения

img067, если img068 его частные решения.

Решение.

Функции img069 линейно независимы, согласно теоремы 11.11, поэтому img070 является его общим решением.