Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

Рассмотрим неоднородное линейное уравнение второго порядка

.(11.1.30)

ТЕОРЕМА 11.1.12 Общее решение неоднородного линейного уравнения (11.1.30) представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения

.(11.1.31)

Доказательство. Докажем, что сумма

,(11.1.32)

есть общее решение уравнения (11.1.30).

Сначала докажем, что функция (11.1.32) есть решение уравнения (11.1.30).

Подставляя сумму в уравнение (11.1.30) вместо , имеем

или

.(11.1.33)

Так как есть решение уравнения (11.1.31), то выражение, заключенное в первую скобку равно нулю, есть решение уравнения (11.1.30), то выражение, заключенное во вторую скобку, равно . Следовательно, равенство (11.1.33) является тождеством, то есть функция решением уравнения (11.1.30).

Докажем, что функция есть общее решение уравнения (11.1.30). Для этого достаточно показать, что входящие в нее произвольные постоянные можно подобрать так, чтобы удовлетворялись начальные условия:

,(11.1.34)

каковы бы ни были числа и .

Учитывая выражение , где произвольные постоянные, линейно независимые решения уравнения (11.1.31), равенство (11.1.32) можно написать в виде

.(11.1.35)

Тогда на основании условий (11.1.34) имеем

 (11.1.36)

Из этой системы уравнений нужно определить и . Для этого найдем главный определитель этой системы

.

Из выражения этого определителя следует, что он является определителем Вронского для функций в точке . Так, как эти функции линейно независимые, то определитель Вронского отличен нуля, следовательно, система (11.1.36) имеет единственное решение. Отсюда следует, что существуют такие значения при которых функция (11.1.35) определяет решение уравнения (11.1.30), удовлетворяющее начальным условиям (11.1.34), тем самым доказана эта теорема.