Система линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.19 Линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка называется система вида

(11.1.52)

где постоянные, непрерывные функции на интервале .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.20 Линейная система называется однородной, если на интервале , то есть система имеет вид

(11.1.53)

Решения системы будем искать в виде

,    (1.1.54)

где постоянные.

Подставляя в систему (11.1.53) функции , сокращая на и перенося все члены в одну часть равенства, получим

(11.1.55)

Для того, чтобы эта система линейных однородных уравнений с двумя неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы главный определитель системы (11.1.55) был равен нулю:

(11.1.56)

Уравнение (11.1.56) называется характеристическим для системы (11.1.53), его корни называются корнями характеристического уравнения.

1.  Корни характеристического уравнения действительные и различные. Обозначим через корни характеристического уравнения. Для каждого корня напишем систему (11.1.55) и определим коэффициенты .

Можно показать, что один из них произвольный, так как система (11.1.55) однородная, его можно считать равным единице. Таким образом, получаем:

для корня решение системы (11.1.53) ;

для корня решение системы (11.1.53) .

Тогда можно показать, что функции являются общим решением системы (11.1.53), где произвольные постоянные.

ПРИМЕР 11.1.31 Найти общее решение системы

Решение.

Составляем характеристическое уравнение или , которое имеет корни .

Для определения чисел подставляем в систему (11.1.55) значение , получаем Решая ее, находим , тогда , .

Подставляя в систему значение , решая полученную систему, имеем и , .

Следовательно, функции являются общим решением системы.

2. Корни характеристического уравнения комплексные. Эти корни обозначим через . Этим корням будут соответствовать решения ;

.

Коэффициенты определяются из системы уравнений (11.1.55).

Можно показать, что действительные и мнимые части комплексного решения также являются решениями. Таким образом, получаем частные решения:

,

где , действительные числа, определяемые через .

На основе этих частных решений можно написать общее решение.

ПРИМЕР 11.1.32 Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Решение.

Характеристическое уравнение или имеет корни . Решения этой системы имеют вид: , подставляя в систему (11.1.55), находим . Следовательно, . Действительная и мнимая части этих функций также являются решениями системы, а их линейная комбинация с произвольными постоянными является общим решением системы: