Системы дифференциальных уравнений

Совокупность дифференциальных уравнений вида

(11.1.45)

где искомые функции от независимой переменной, называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Будем предполагать функции такими, что система (11.1.45) разрешима относительно производных от искомых функций:

(11.1.46)

Система вида (11.1.46) называется нормальной системой дифференциальных уравнений. Число уравнений, входящих в систему (11.1.46), называется порядком этой системы, то есть система (11.1.46) есть нормальная система го порядка. Как правило, систему уравнений (11.1.45) можно привести к нормальной. В дальнейшем рассматриваются только нормальные системы.

ПРИМЕР 11.1.29

Решение.

Разрешим данные уравнения относительно производных :

Если правые части системы (11.1.46) зависят линейно от искомых функций , то есть система (11.1.46) имеет вид

(11.1.47)

где заданные функции от переменной , то она называется линейной системой дифференциальных уравнений или, короче, линейной системой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.17 Всякая совокупность функций , , определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале , называется решением системы (11.1.46) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы (11.1.46) в тождества

при всех значениях x из интервала .

ПРИМЕР 11.1.30 Рассмотрим систему уравнений

Легко убедиться, что пара функций и есть решение системы в интервале .

Система имеет и другие решения. Пара функций вида ? , где произвольные постоянные, будет решением на интервале . Действительно,

.

Подставляя последние соотношения в систему, получим равенства

которые выполняются тождественно относительно x при любых значениях постоянных и . Заметим, что система двух уравнений в примере 11.1.30 имеет решение, содержащее две произвольные постоянные. Процесс нахождения решений системы (11.1.46) называется интегрированием этой системы.

Основной задачей, рассматриваемой при интегрировании систем дифференциальных уравнений, является задача Коши.

Для нормальной системы (11.1.46) задача Коши ставится следующим образом: среди всех решений системы (11.1.46) найти такое решение

,    (11.1.48)

в котором функции принимают заданные числовые значения при заданном значении независимой переменной x:

,    (11.1.49)

так что решение (11.1.48) удовлетворяет условиям

при (11.1.50)

Здесь числа называются начальными значениями искомых функции, начальным значением независимой переменной , вместе взятые, называются начальными данными решения (11.1.48), а условия (11.1.50) – начальными условиями этого решения.

При рассмотрении задачи Коши для системы (11.1.46), так же, как и в случае одного дифференциального уравнения, возникают вопросы существования и единственности решения задачи Коши.

Для нормальных систем уравнений имеет место теорема, гарантирующая существование и единственность решения задачи Коши.

Предположим, что правые части системы (11.1.46) определены в некоторой области :

  . Тогда справедлива теорема.

ТЕОРЕМА 11.1.13 Пусть правые части системы (11.1.46) удовлетворяют в области следующим двум условиям:

1) функции непрерывны;

2) функции имеют ограниченные в области частные производные по переменным , то есть

, постоянное положительное число, любая точка области .

Тогда система (11.1.46) имеет единственное решение

, удовлетворяющее начальным условиям (11.1.50), непрерывно дифференцируемое в интервале , где , M -максимум функции в области (максимум функций существует, так как в области функции непрерывны).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.18 Совокупность n функций

(11.1.51)

определенных в некоторой области изменения переменных непрерывно дифференцируемых по , называется общим решением системы (11.1.46), если:

1) система (11.1.51) разрешима относительно произвольных постоянных в области , так что при любых значениях , принадлежащих области , системой (11.1.51) определяются значения :

2) совокупность функций (11.1.51) является решением системы (11.1.46) при всех значениях произвольных постоянных .

Частным решением системы (11.1.46) называют решение удовлетворяющее начальным условиям (11.1.50), то есть решение задачи Коши.