Уравнение в полных дифференциалах

Известно, что полный дифференциал функции имеет вид .

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка в симметричной форме

.(11.1.13)

Если бы оказалось, что левая часть этого уравнения представляет полный дифференциал некоторой функции , в этом случае дифференциальное уравнение называют уравнением в полных дифференциалах

, то зная функцию получили бы общий интеграл уравнения в виде .

Возникает вопрос, как установить, является ли дифференциальное выражение полным дифференциалом некоторой функции; если это так, то как найти эту функцию.

На этот вопрос отвечает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 11.1.2 Пусть функции и определены и непрерывны в некоторой области и имеют в ней непрерывные частные производные . Тогда для того, чтобы дифференциальное выражение представляло собой полный дифференциал некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области было

выполнено условие .

Доказательство этой теоремы опускаем.

Тогда функция является общим интегралом дифференциального уравнения.

ПРИМЕР 11.1.16 .

Решение.

Это уравнение не является ни уравнением с разделяющимися переменными, ни однородным, ни линейным. Написав его в симметрическом виде и убедившись, что , , так как , заключаем, что данное уравнение – в полных дифференциалах. Общий интеграл его находим по формуле,

,   .

При интегрировании уравнения в полных дифференциалах можно обойтись без готовой формулы, а искать функцию постепенно, пользуясь знанием ее частных производных .

Из первого равенства .

Функцию далее подбираем так, чтобы удовлетворить и второму условию . Из этого находим , а по нему и .

ПРИМЕР 11.1.17 .

Решение.

Это уравнение в полных дифференциалах, так как .

.

следовательно,