Расчет точечных и интервальных оценок математического ожидания и дисперсии

Пусть некоторый параметр генеральной совокупности, который невозможно вычислить. Но знать его значение (хотя бы приближенное, оценочное) надо! Поэтому по выборочным данным производят расчет статистических оценок данного генерального параметра.

Точечной называют статистическую оценку генерального параметра , которая определяется одним числом . Точечная оценка может быть несмещенной и смещенной.

Несмещенной называют такую точечную оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому генеральному параметру при любом объеме выборки, то есть

. (14.2.4)

Если равенство (14.2.4) нарушается, то в этом случае точечная оценка называется смещенной.

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания ) служит выборочная средняя:

, (14.2.5)

которую считаем по данным таблицы 14.2.3.

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия:

, (14.2.6)

где из таблицы 14.2.3. Иногда более удобно пользоваться другой формулой для вычисления выборочной дисперсии:

. (14.2.6а)

Замечание. Поскольку является смещенной оценкой, то ее «исправляют» следующим образом:

. (14.2.7)

Полученная оценка это несмещенная дисперсия, а выборочное среднее квадратическое отклонение.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого генерального параметра, то есть приводит к грубым ошибкам, поэтому при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый генеральный параметр .

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью (доверительной вероятностью) покрывает оцениваемый генеральный параметр, то есть с которой осуществляется неравенство .

Обычно надежность оценки (доверительная вероятность ) задается. Причем в качестве берут число, близкое к единице (0,95; 0,99; 0,999).

Итак, пусть вероятность того, что равна , то есть

, (14.2.8)

или , (14.2.8а)

тогда интервал и есть доверительный интервал.

Для оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении служит доверительный интервал.

, (14.2.9)

где точность оценки; объем выборки; это такое значение аргумента функции Лапласа (приложение 1), при котором .

Для оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении и (при объеме выборки ) служит доверительный интервал

, (14.2.10)

где находим по таблице (приложение 2) по заданным и .

Для оценки среднего квадратического отклонения нормально распределенной генеральной совокупности с доверительной вероятностью служат доверительные интервалы:

(14.2.11)

где находим по таблице (приложение 3) при заданных и .

Замечание. Для предлагается построить доверительные интервалы для двух значений вероятности . Провести анализ, как меняются границы интервалов с увеличением доверительной вероятности.

ПРИМЕР 14.2.2. Найти точечные и интервальные оценки генерального математического ожидания и генеральной дисперсии, исходя из данных примера 14.2.1.

1) По данным таблицы 14.2.5 рассчитываем выборочное математическое ожидание и выборочную дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

.

.

По данным табл. 14.2.4 вычисляем еще одну точечную характеристику среднее арифметическое значение нашей выборки : .

2) Делаем расчет интервальных оценок, то есть будем строить доверительные интервалы с доверительной вероятностью .

а)

Ищем соответствующее значение по таблице в приложении 2 .

Точность оценки . Тогда

;

.

б)

.

;

.

Строим полученные интервалы на полигоне распределения относительных частот.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >