Статистические оценки генеральных параметров

Пусть — некоторый параметр генеральной совокупности, который невозможно вычислить. Но знать его значение (хотя бы приближенное, оценочное) надо! Поэтому по выборочным данным производят расчет статистических оценок данного генерального параметра.

Оценки параметров подразделяются на точечные и интервальные.

Точечной называется статистическая оценка генерального параметра , которая определяется двумя числами и — концами интервала, покрывающего оцениваемый генеральный параметр .

Для того, чтобы точечная оценка давала «хорошие» приближения оцениваемого параметра, она должна быть: несмещенной, эффективной, состоятельной.

Несмещенной называют такую точечную оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому генеральному параметру при любом объеме выборки, то есть

. (14.1.4)

Если равенство (1.4) нарушается, то в этом случае оценки называется смещенной.

Эффективной называется точечная оценка , которая (при заданном) объеме выборки) имеет наименьшую возможную дисперсию, то есть

. (14.1.4а)

Состоятельной называется точечная оценка , которая (с увеличением объема выборки) стремится по вероятности к оцениваемому параметру , то есть для любого достаточно малого

. (14.1.4б)

Несмещенной оценкой генеральной средней (генерального математического ожидания ) служит выборочная средняя (выборочное математическое ожидание):

, (14.1.5)

где — данные из табл. 14.1.4. Кроме того, является состоятельной оценкой. Если случайная величина подчинена нормальному закону распределения, то является и эффективной оценкой.

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия:

, (14.1.6)

где — рассчитывается по формуле (14.1.5), — данные из табл. 14.1.4.

Иногда удобнее пользоваться другой формулой для вычисления выборочной дисперсии:

. (14.1.6a)

Замечание. Поскольку является смещенной оценкой, то ее «исправляют» следующим образом:

. (14.1.7)

Полученная оценка — это состоятельная несмещенная выборочная дисперсия, а — выборочное среднее квадратичное отклонение.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого генерального параметра, то есть приводит к грубым ошибкам. Поэтому при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Пусть найденная (по данным выборки) статистическая оценка является оценкой неизвестного генерального параметра . Ясно, что тем точнее определяет , чем меньше значение разности . То есть при чем меньше , тем оценка точнее. Значит, положительное число характеризует точность оценки.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки называется вероятность , с которой осуществляется событие , то есть

. (14.1.8)

Обычно надежность оценки (доверительная вероятность ) задается. Причем в качестве берут число, близкое к единице (0,95; 0,99; 0,999).

Доверительным называется интервал, который с заданной надежностью покрывает оцениваемый генеральный параметр. В соотношении (14.1.8), если раскрыть модуль, получается или .

Тогда интервал и есть доверительный интервал. Из общих соображений ясно, что длина доверительного интервала будет зависеть от объема выборки и доверительной вероятности .

Для оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении служит доверительный интервал:

, (14.1.9)

где — точность оценки; — объем выборки; — такое значение аргумента функции Лапласа (приложение 1), при котором .

Для оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении (при объеме выборки ) служит доверительный интервал:

, (14.1.10)

где находим по таблице (приложение 2) по заданным N и .

Для оценки среднего квадратического отклонения нормально распределенной генеральной совокупности с доверительной вероятностью служат доверительные интервалы:

(при );

(при ), (14.1.11)

где q – находим по таблице (приложение 3) при заданных N и .

Замечание 14.1.1. Оценку называют классической. Из формулы , определяющей точность классической оценки, можно сделать выводы:

  1. при возрастании объема выборки N число убывает, значит, точность оценки увеличивается;

  2. увеличение надежности оценки приводит к увеличению значения (так как и функция — возрастающая), значит, к возрастанию , то есть к уменьшению точности оценки.

Замечание 14.1.2. В связи со второй частью замечания 14.1.1 обычно предлагается строить доверительные интервалы для двух значения вероятности и . Затем провести анализ, как меняются границы интервалов с увеличением доверительной вероятности.

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >