Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.7 Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его правая часть есть произведение двух функций, одна из которых зависит от , а другая от . .

Предположим, что функции и непрерывны на интервале и что .

Умножая обе части уравнения на и деля на , запишем его в виде: .

Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению , которое представляет собой общий интеграл данного уравнения в указанной области.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.8 Дифференциальное уравнение

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными в симметричной относительно и дифференциальной форме.

Функции непрерывны соответственно в интервалах и не равны тождественно нулю.

Для нахождения всех решений такого уравнения достаточно разделить обе части уравнения на произведение и проинтегрировать полученное соотношение: . Полученное соотношение является общим интегралом данного уравнения, где произвольная постоянная.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.9 Уравнение вида называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

Почленное интегрирование данного уравнения приводит к соотношению , которое определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения.

ПРИМЕР 11.2.1. Найти общее решение уравнения .

Решение.

Данное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными функции и непрерывна всюду и .

Разделяя переменными и интегрируя , получим

общий интеграл данного уравнения во всей плоскости .

Разрешая относительно , находим общее решение , .

ПРИМЕР 11.2.2. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение.

Преобразуем данное уравнение

. Данное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными в дифференциальной форме симметричное относительно и .

Функции и не равны нулю в рассматриваемой области. Разделим обе части уравнения на , получим

.

, где . Получили общий интеграл.

ПРИМЕР 11.2.3. Проинтегрировать уравнение .

Решение.

Данное уравнение — есть уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем данное уравнение

(так как левая часть выражается через натуральный логарифм, то постоянную удобнее в данном случае записать как ).

общее решение, с геометрической точки зрения определяет семейство гипербол.

ПРИМЕР 11.2.4. Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.

Решение.

Пусть уравнение искомой кривой, произвольная точка кривой.

рис 11.2.1

, т.е.

. Из

, так как , то , тогда . Получили дифференциальное уравнение с разделяющими переменными, интегрируя его, получим

семейство интегральных кривых, удовлетворяющих условию задачи.

ПРИМЕР 11.2.5. Материальная точка с массой г погружается в жидкость без начальной скорости. Сила сопротивления жидкости пропорциональна скорости погружения . Коэффициент пропорциональности . Найти зависимость погружения от времени.

Решение.

В момент времени точка находится  под действием силы тяжести и силы сопротивления жидкости . Сила P направлена в сторону движения, а в сторону противоположную движению, поэтому их равнодействующая .

Так как материальная точка погружается в жидкость под действием силы , то по второму закону Ньютона эта же сила равна . Приравнивая оба выражения для , получим , но по условию г, а . сократим на , .

Получили уравнение с разделяющими переменными. Разделив переменные и проинтегрировав, получим

. .

; ; ;

или , где .

Для нахождения воспользуемся начальным условием .

.Тогда частное решение будет иметь вид

.

Задачи и примеры для самостоятельного решения

Решите уравнения:

11.2.5 Отв.

11.2.6 Отв.
11.2.7 Отв.
11.2.8 Отв.
11.2.9 Отв.
Найти частные решения уравнений

11.2.10 Отв.
11.2.11 Отв.
11.2.12
Отв.
11.2.13 Отв.

11.2.14 Кривая проходит через точку . В произвольной точке этой кривой проведена касательная. Точка пересечения касательной с осью имеет абсциссу вдвое большую, чем абсцисса точки касания. Найти кривую.

Ответ:

11.2.15 Составить уравнение кривой, проходящей через точку , если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен произведению координат точки касания.

Ответ: .

11.2.16 Найти время, в течение которого вся вода вытекает из конической воронки, если известно, что половина воды вытекает в мин.

Ответ: мин.

11.2.17 В комнате, где температура , некоторое тело остыло за мин от до . Найти закон охлаждения тела; через сколько минут оно остынет до ? Повышением температуры в комнате пренебречь.

Ответ: мин.