Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

Уравнение вида при приводится к однородному подстановкой , где точки пересечения прямых и .

Если же , то подстановкой уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

ПРИМЕР 11.2.29 Найти общий интеграл уравнения .

Решение.

Составим определитель из коэффициентов при и y . Так как определитель равен нулю, то данное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой , откуда . Подставим в данное уравнение, получим . Разделяя переменные и интегрируя, имеем .

или , где .

ПРИМЕР 11.2.30 Найти общее решение уравнения .

Решение.

Вычислим определитель, составленный из коэффициентов при x и y

данное уравнение, приводится к однородному. Сделаем подстановку тогда и подставим в данное уравнение

(*)

Неизвестные и находим из системы

(**) Решая систему, получим . При условии (**) уравнение (*) примет вид

(***) Уравнение (***) является однородным. Сделаем подстановку , подставим в уравнение (***)

.

Разделяя переменные и интегрируя, получим

или

. Так как , то последнее уравнение примет вид

или

(****) где . В уравнение (****) подставим и , получим или  .

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения
11.2.31 Отв.:
11.2.32 Отв.:
11.2.33 Отв.:
11.2.34 Отв.:
11.2.35 Найти интегральную кривую дифференциального уравнения , проходящую через точку M(1;1) Отв.: .