Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.14 Уравнение вида линейное относительно искомой функции и ее производной входят в уравнение в первых степенях, не перемножаясь между собой) называется линейным.

Если , то уравнение называется линейным неоднородным, если линейное однородное.

Общее решение уравнения легко получается разделением переменных:

;

, где .;       (11.2.1)

Рассмотрим два способа решения уравнения

.;;(11.2.2)

1. Способ подстановки.

Полагая и уравнение (11.2.2) преобразуется в уравнение или .

Подберем v таким образом, чтобы уравнение , тогда или

. Так как , то

.

Замечание. Если линейное уравнение линейно относительно и x'(y), т.е. имеет вид , то общее решение его находится подстановкой .

ПРИМЕР 11.2.36 Решить уравнение линейное неоднородное уравнение.

Решение.

Функции и непрерывны повсюду.

Делаем замену

или . Подбираем таким образом, чтобы или . Найденное подставляем в уравнение получим: или . Разделяя переменные и интегрируя, имеем

.

Таким образом, .

Ответ: общее решение.

2. Метод вариации произвольной постоянной.

По методу вариации произвольной постоянной решение уравнения (11.2.2) будем искать, как решение соответствующего однородного уравнения в виде , только C будем считать функцией от , . Эта функция должна быть такова, чтобы при подстановке и в уравнение (11.2.2) оно обращалось в тождество.

ПРИМЕР 11.2.37 Найти общее решение уравнения .

Решение.

Приведем уравнение к виду линейное неоднородное уравнение первого порядка. Решим его по методу вариации произвольной постоянной. Первоначально, решаем однородное уравнение . Разделяя переменные, получим

, .

По методу вариации общее решение будем искать в виде , . Подставим и в данное уравнение.

интегрируя, получим: . Таким образом, .

Ответ: общее решение.

Примеры и задачи для самостоятельного решения:

Решить уравнения

11.2.38 Отв.
11.2.39 ; Отв.
11.2.40 ; Отв.
11.2.41; Отв.
11.2.42 Отв.
Найти частное решение уравнений
11.2.43 ; Отв.
11.2.44 ; Отв.
11.2.45 Отв.

11.2.46 Найти линию, у которой начальная ордината любой касательной на две единицы масштаба меньше абсциссы точки касания.

Отв.

11.2.47 Найти линию, у которой площадь треугольника, построенного на абсциссе любой точки и начальной ординате касательной в этой точке, есть величина постоянная, равная .

Отв.

11.2.48 Точка массой равной m движется прямолинейно, на нее действует сила, пропорциональная времени , прошедшему от момента, когда скорость равнялась нулю. Кроме того, на точку действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости . Найти зависимость скорости от времени.

Отв.