Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.22 Линейным обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называют уравнения вида

, (11.2.12)

где коэффициенты — некоторые известные константы.

Уравнение (11.2.12) является частным случаем уравнения вида (11.2.11) и его общее решение имеет структуру

 

где частные решения уравнения (11.2.12), вронскиан которых не равен нулю; -произвольные константы. Такой набор функций называется фундаментальной системой решений. Для  линейных однородных (с нулевой правой частью ) уравнений известно как построить фундаментальную систему решений, через которую можно выписать общее решение уравнения (11.2.12). Для этого выписываем так называемое характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (11.2.12):

.(11.2.13)

Характеристическое уравнение получается из уравнения (11.2.12) формальной заменой производных неизвестной функции и самой функции на соответствующие степени параметра

Характеристическое уравнение (11.2.13) имеет ровно n корней (действительных или комплексных) среди которых могут быть совпадающие (кратные). Напомним, что кратность корня называется степень двучлена в разложении многочлена на множители.

Фундаментальная система решений строится в соответствие с корнями характеристического уравнения (11.2.13), согласно следующей схеме:

  1. каждому простому (кратности 1) действительному корню  ставится в соответствие функция ;

  2. каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m линейно независимых функций

  3. каждой паре комплексно сопряженных корней и ставится в соответствие пара функций

  4. каждой паре комплексно сопряженных корней и кратности m ставится в соответствие функций

 .

Таким образом, по n корням (с учетом кратности) мы построили n линейно независимых решений уравнения (11.2.12). Согласно (11.2.11), общее решение уравнения (11.2.12) выписывается как линейная комбинация этих всех функций.

Для выделения частного решения необходимо на функцию и ее производные наложить дополнительных условий, например (задача Коши).

ПРИМЕР 11.2.102 Найти общее решение уравнения

Решение.

Заменяя в данном дифференциальном уравнении неизвестную функцию на единицу, ее производные на соответствующие степени параметра  , получаем характеристическое уравнение. Корни этого уравнения действительны и различны. Фундаментальная система решений состоит из функций Общее решение, следовательно,

ПРИМЕР 11.2.103 Найти общее решение уравнения

Решение.

Выписываем характеристическое уравнение , его корни: кратности 2, и пара простых комплексно сопряженных корней В соответствие со схемой, фундаментальная система решений состоит из четырех функций общее решение есть их линейная комбинация

ПРИМЕР 11.2.104 Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Решение.

Найдем сначала общее решение. Выписываем характеристическое уравнение . Один из его корней угадывается сразу: 1 = 1. Для нахождения остальных поделим характеристический многочлен на ( — 1).

               

     

 

  0

Таким образом . Оставшиеся два корня имеют вид Общее решение

 

Найдем производные

  

Частное решение находится в соответствие с начальными условиями

.

Решая эту систему, получаем

Ответ:

ПРИМЕР 11.2.105 Рассмотрим колебание груза массой m под действием пружины жесткости . Пусть  отклонение тела от положения равновесия скорость тела ускорение.

Решение.

Запишем для этой системы закон Ньютона . Если силами, действующими на тело, являются только возвращающая сила пружины сила сопротивления , то получим уравнение линейного осциллятора при наличие сопротивления вида . Его характеристическое уравнение имеет корни .

Рассмотрим три случая:

1) Если (сила сопротивления движению велика, возрастающая сила пружины мала), то корни действительны, различны и оба отрицательны.

Общее решение запишется в виде .

Это случай так называемого апериодического решения. Точка асимптотически, без колебаний стремится к положению равновесия при . Напомним .

2) Если , то корни характеристического уравнения действительны и равны .

Общее решение имеет вид .

3) Наконец . Корни в этом случае комплексны и сопряжены , .

Общее решение имеет вид .

Движение точки представляет собой колебания около положения равновесия с затухающей амплитудой. Отметим, что при отсутствие трения движение будет периодическим .

Задачи и примеры для самостоятельного решения

Найти общее решение

Отв.;
Отв.
Отв.
Отв.
Отв.
Отв.

Найти частное решение
Отв.
Отв.

11.2.114 Два одинаковых груза подвешены к концу пружины и удлиняют ее относительно ненагруженного состояния на . Найти закон движения одного груза, если второй сорвется. Отв. .