Метод вариации произвольных постоянных

В данном параграфе речь пойдет о линейных неоднородных дифференциальных уравнениях n-го порядка с постоянными коэффициентами вида

.(11.2.13)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.23 Если функция правой части не тождественный нуль, такие уравнения называют неоднородными или уравнениями с правой частью.

Коэффициенты известные константы (в данном параграфе это замечание не принципиально – все выкладки имеют место и в случае зависящих от коэффициентов).

Общее решение уравнения (11.2.13) представляет собой сумму

,   (11.2.14)

где — какое-либо частное решение неоднородного уравнения, — общее решение однородного уравнения при .

.  (11.2.15)

Пусть фундаментальная система решений однородного уравнения известна: . Тогда общее решение однородного уравнения можно выписать Таким образом, для построения общего решения необходимо найти какое-либо частное решение .

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения можно пользоваться методом вариации произвольных постоянных. Он заключается в следующем. Решение уравнения (11.2.13) находится в виде линейной комбинации функций с коэффициентами, уже зависящими от :

Производные от функций определяются из линейной алгебраической системы вида

(11.2.16)

где f(x) – правая часть уравнения (11.2.13). Вывод этой формулы можно найти в учебниках.

Определитель системы равен вронскиану и в нуль не обращается. Это обеспечивает однозначную разрешимость системы. Тем или иным методом линейной алгебры можно получить выражения для ; сами функции восстанавливаются интегрированием. В частности для дифференциального  уравнения второго порядка система имеет вид.

  (11.2.17)

Неизвестные и определяются по формулам Крамера

,

  (11.2.18)

Решения выписываются через интегралы

,    (11.2.19)

ПРИМЕР 11.2.116 Найти общее решение уравнения .

Решение.

Общее решение по теореме о структуре решений, имеет вид . находим при решении однородного уравнения . Составим характеристическое уравнение общее решение однородного уравнения будет иметь вид  , где и . Частное решение данного уравнения по методу вариации будет иметь вид .

Составим систему .

Вычислим главный определитель системы

система имеет единственное решение, по формулам Крамера имеем

; .

. Интегрируя последнее равенство, найдем и .

Запишем частное решение неоднородного уравнения , тогда общее решение будет иметь вид .

Задачи и примеры для самостоятельного решения

Найти общее решение дифференциальных уравнений

11.2.117 .

Отв.

11.2.118 .

Отв. .

11.2.119 .

Отв. .

11.2.120 .

Отв. .

11.2.121 .

Отв. .

11.2.122 .

Отв. .

11.2.123 .

Отв. .

11.2.124 Найти решение уравнения , удовлетворяющее краевым условиям .

Отв. .

Замечание. Краевые условия – это условия заданные на концах некоторого промежутка, их число не должно превышать порядка уравнения.