Обыкновенные дифференциальные уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.1 Уравнение, связывающее независимую переменную, функцию и ее производные называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.2 Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Например,

  1. обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;

  2. обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка;

  3. обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка.

Рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, то есть уравнения или в разрешенном относительно виде, .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.3 Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.4 Общим решением дифференциального уравнения первого порядка в области называется функция , обладающая следующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения некоторому множеству; 2) для начального условия , такого, что , существует единственное значение , при котором решение удовлетворяет заданному начальному условию.

С геометрической точки зрения общему решению на плоскости соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра — произвольной постоянной .

Равенство , неявно задающее общее решение называется общим интегралом уравнения .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.5 Всякое решение , полученное из общего решения при конкретном значении , называется частным решением.

Частному решению удовлетворяющему начальному условию , на плоскости соответствует линия , проходящая через точку Аналогично определяются частные интегралы.

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию называется задачей Коши.

ТЕОРЕМА 11.2.1 (Коши). Если функция непрерывна в некоторой области плоскости и имеет в этой области непрерывную частную производную по , , то, какова бы ни была точка области , существует, и притом единственное, решение уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.6 Особым решением называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется, т.е. в любой окрестности каждой точки особого решения существует по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.

Особые решения не получаются из общего решения дифференциального уравнения ни при каких значениях произвольной постоянной ( в том числе и при ).

С геометрической точки зрения особое решение есть огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т.е. линия, которая в каждой своей точке касается по меньшей мере одной интегральной кривой.

Например, общее решение уравнения записывается в виде . Это семейство имеет две огибающие: и , которые будут особыми решениями данного уравнения.