Однородные дифференциальные уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.10 Функция называется однородной го измерения относительно своих аргументов и , если для любого значения имеет место тождество .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.11 Функция называется однородной нулевого измерения относительно и , если для любого имеет место равенство .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.12 Дифференциальное уравнение вида называется однородным относительно и , если является однородной функцией нулевого измерения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.13 Дифференциальное уравнение называется однородным, если и однородные функции одного измерения.

Однородное уравнение может быть приведено к виду . С помощью подстановки , оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными по отношению к новой неизвестной функции .

ПРИМЕР 11.2.18 Найти общее решение уравнения .

Решение.

Функция является однородной функцией нулевого измерения, так как . Значит данное уравнение однородное. Сделаем замену , и подставим в уравнение, получим

.

или .

Разделяя переменные и интегрируя, получим .

, или , где .

где .

Возвращаясь к прежней неизвестной функции , получаем окончательный ответ или общий интеграл данного уравнения.

ПРИМЕР 11.2.19 Найти частное решение уравнения

, .

Решение.

В данном случае , а . Обе функции — однородные четвертого измерения. Значит данное уравнение однородное. Введем подстановку . Тогда уравнение примет вид

, ;

интегрируя, получим

; ;

. Возвращаясь к прежней неизвестной и используя начальные условия, получим ,

, . Сокращая на ,  окончательно имеем

или .

ПРИМЕР 11.2.20 Составить уравнение кривой, проходящей через точку (1,1), если известно, что произведение абсциссы любой точки кривой на угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке равно удвоенной сумме координат точки.

Решение.

Пусть точка касания, тогда угловой коэффициент касательной, проведенной в точке равен . По условию задачи . Получили однородное уравнение. Сделаем подстановку

. Интегрируя, получим

но .

Итак, . Это уравнение параболы с вершиной в точке и пересекающая ось в точках и .

Задачи и примеры для самостоятельного решения

Решить уравнения

11.2.21 Отв.:
11.2.22 Отв.:
11.2.23 Отв.:
Найти частные решения дифференциальных уравнений

11.2.24 Отв.:
11.2.25 Отв.:
11.2.26 Отв.:

11.2.27 Найти линию, у которой квадрат длины отрезка, отсекаемого любой касательной от оси ординат, равен произведению координат точки касания.

Ответ: .

11.2.28 Найти линию, у которой начальная ордината любой касательной равна соответствующей поднормали.

Ответ: .