Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

11.2.9.1 Уравнение вида

Решение этого уравнения находится n-кратным интегрированием, а именно:

,

где .

Общее решение окончательно может быть записано , где

ПРИМЕР 11.2.72 Найти частное решение уравнения .

Решение.

,

,

.

Определим постоянные , для чего подставим начальные условия в полученные уравнения

Искомое частное решение: .

11.2.9.2 Дифференциальные уравнения вида , не содержащие искомой функции

Порядок данного уравнения понижается путем заметы , и уравнение примет вид

, порядок которого понижен на k единиц.

ПРИМЕР 11.2.73 Найти общее решение уравнения .

Решение.

Делаем замену и подставляем в данное уравнение, получим: или .

Полученное уравнение является однородным уравнением первого порядка, так как справа стоит однородная функция нулевого измерения. Полагая и получим уравнение или .

Интегрируя последнее уравнение, находим или , возвращаясь к переменной , а затем к , приходим к уравнению или . Интегрируя последнее уравнение, находим .

11.2.9.3 Дифференциальные уравнения вида ,
не содержащие независимой переменной

Порядок данного уравнения понижается путем замены , тогда и так далее. После замены порядок уравнения понизится на единицу.

Замечание 3. Если дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной, искомой функции и ее первых производных, то есть, если уравнение имеет вид , то порядок уравнения можно понизить на единицу, применяя сначала подстановку , а затем .

ПРИМЕР 11.2.74 Решить уравнение .

Решение.

Это уравнение второго порядка, не содержащее явно . Делаем замену и подставляем в уравнение.

или . Найденное подставим в уравнение , получим или

отв. .

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения

11.2.75 ; Отв.
11.2.76 ; Отв.
11.2.77 ; Отв.
11.2.78 ; Отв.
11.2.79 ; Отв.
11.2.80 ; Отв.
11.2.81 ; Отв.
11.2.82 ; Отв.
11.2.83 ; Отв.
Найти частные решения
11.2.84 Отв.
11.2.85

Отв.

11.2.86 Отв.
11.2.87 Отв.
11.2.88 Отв.
11.2.89 Отв.

11.2.90 Найти линию, для которой проекция радиуса кривизны на ось есть величина постоянная, равная .

Отв.

11.2.91 Тело, находившееся в начальный момент в жидкости, погружается в нее под действием собственного веса без начальной скорости. Сопротивление жидкости прямо пропорционально скорости тела. Найти закон движения тела, если его масса m.

Отв.

11.2.92 Найти закон прямолинейного движения материальной точки массы , если известно, что работа силы, действующей в направлении движения и зависящей от пути, пропорциональна времени, протекшему с момента начала движения. Коэффициент пропорциональности равен .

Отв.