Распределения дискретных случайных величин

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p. Возможные значения случайной величины: 0,1,,…,n, а соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

.

Случайная величина X, распределенная по биномиальному закону, имеет .

Предельным для биномиального, когда число n неограниченно увеличивается (n — велико) и одновременно вероятность p неограниченно уменьшается (p — мало) является закон Пуассона. Возможные значения случайной величины, подчиненной закону Пуассона: 0,1,,…,n,…, а соответствующие вероятности вычисляются по формуле:

, где .

Для данного закона распределения .

Геометрическим называется закон распределения дискретной случайной величины X — числа испытаний, проводимых до тех пор, пока не наступит некоторое событие, причем вероятность появления этого события в каждом испытании остается постоянной и равна p . Ее возможные значения , а соответствующие вероятности

.

Для геометрического распределения

.

Случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение с параметрами a,b,n, если ее возможные значения 0,1,,…,а имеют вероятности:

.

Гипергеометрическое распределение возникает при следующих условиях: имеется урна, в которой a белых и b красных шаров, из нее вынимается n шаров. СВ X — число белых шаров среди вынутых.

Числовые характеристики случайной величины X, имеющей гипергеометрическое распределение, равны

;

.

Однако, для гипергеометрического распределения иногда числовые характеристики удобнее вычислять по определению.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 13.2.39. Брошены 2 игральные кости. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X — числа выпадений «шестерки».

РЕШЕНИЕ: Возможные значения СВ X — 0, 1, 2, причем соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли при n=2 и p=1/6.

;

;

.

Итак,

X 0 1 2
P 25/36 10/36 1/36

ПРИМЕР 13.2.40. На автоматическую телефонную станцию поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 0,8 вызов/мин (простейший – определяется законом Пуассона). Найти вероятность того, что за две минуты:

а) не придет ни одного вызова;

б) придет ровно один вызов;

в) придет хотя бы один вызов.

РЕШЕНИЕ. Случайная величина X — число вызовов за 2 минуты – распределена по закону Пуассона с параметром . Имеем:

а) ;

б) ;

в) .

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить задачи, используя формулы расчета вероятности для дискретных случайных величин и их характеристик

3.2.8.1. Производится бросание игральной кости до первого выпадения шести очков. а) Написать закон распределения случайной величины X — число подбросов; б) Найти вероятность того, что первое выпадение «шестерки» произойдет не позднее второго броска игральной кости.

Отв.:

3.2.8.2. Доказать, что для геометрического распределения

, .

Указание. .

Действительно, . Продифференцировав обе части, получим требуемое равенство.

Отв.:

3.2.8.3. В шкафу находятся 9 приборов, из них 5 новых и 4 бывших в употреблении. Из шкафа наугад вынимаются 4 прибора. СВ X — число новых приборов среди вынутых. Построить ряд распределения СВ X. Вычислить двумя способами: непосредственно по ряду распределения и по формулам.

Отв.:

X 0 1 2 3 4
P 0,008 0,159 0,476 0,317 0,04

M(X)=2,222, D(X)=0,619

3.2.8.4. Поток грузовых железнодорожных составов, прибывающих на сортировочную горку, можно считать простейшим с интенсивностью 4 состав/ч. Найти вероятности того, что за полчаса на горку прибудет: а) ровно один состав; б) хотя бы один состав; в) не менее трех составов.

Отв.:а)0,27; б)0,865; в)0,325

3.2.8.5. Доказать, что сумма вероятностей числа появлений события в независимых испытаниях, вычисленных по закону Пуассона, равна единице. Предполагается, что испытания производятся бесчисленное количество раз.

Указание. Использовать разложение функции в ряд Маклорена:

3.2.8.6. Доказать, что для закона Пуассона .

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >