Регрессия

Пусть составляющие X и Y дискретны и их возможные значения:

.

Условным распределением составляющей X при называют совокупность условных вероятностей , вычисленных в предположении, что событие (j имеет одно и то же значение при всех значениях X) уже наступило. Аналогично определяется условное распределение составляющей Y.

Условные вероятности вычисляются по формулам

.

Пусть непрерывная двумерная случайная величина с плотностью распределения .

Условной плотностью распределения составляющей X при заданном значении называют

.

Аналогично определяется условная плотность распределения составляющей Y при заданном значении

.

Запишем последние формулы в виде

Если X и Y — независимые случайные величины, то , то есть для независимых случайных величин условные плотности распределения равны их безусловным плотностям ; .

Условным математическим ожиданием одной из случайных величин, входящих в систему (X,Y), называется ее математическое ожидание,вычисленное в предположении, что другая случайная величина приняла определенное значение, то есть найденное на основе условного закона распределения.

Для дискретных величин

,

.

Для непрерывных величин

,

.

Условное математическое ожидание есть функция от x: , которую называют функцией регрессии Y на X. Аналогично функция регрессии Y на X — это функция . Графики этих функций называются линиями регрессии или «кривыми регрессии».

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 13.2.55. Задана дискретная двумерная случайная величина .

Y\X 2 5 8
0,4 0,15 0,30 0,35
0,8 0,05 0,12 0,03

Найти: а) условный закон распределения составляющей X при условии Y=0,4 ;

б) условный закон распределения Y при условии x=5.

Решение. Найдем условные вероятности

а) ;

;

.

Тогда искомый условный закон распределения :

X 2 5 8
3/16 3/8 7/16

;

.

Y 0,4 0,8
5/7 2/7

ПРИМЕР 13.2.56.

X\Y 0 3 5
1 0 0,05 0,1
5 0,1 0,1 0,15
12 0,1 0,15 0,25

Построить линии регрессии Y на X.

Решение. Найдем условные законы Y при X=1, X=5 и X=12.

,

,

.

Y 0 3 5
0 1/3 2/3

,

,

,

.

Y 0 3 5
2/7 2/7 3/7

,

,

,

.

Y 0 3 5
2/9 1/3 4/9

Линия регрессии

ПРИМЕР 13.2.57. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y).

.

Найти: а) плотности распределения составляющих; б) условные плотности распределения составляющих.

Решение. а) Найдем плотность распределения составляющей :

Вынесем за знак интеграла множитель , не зависящий от переменной интегрирования y, и дополним оставшийся показатель степени до полного квадрата, тогда
.

Учитывая, что интеграл Пуассона , получаем .

Аналогично найдем плотность распределения составляющей Y: .

б) Найдем условные плотности распределения составляющих.

;

.

ПРИМЕР 13.2.58. Задана плотность распределения двумерной случайной величины (X,Y) : , где .

Найти линию регрессии СВ X на СВ Y.

Решение. Найдем условную плотность распределения X на Y.

Из области D видно, что

;

;

;

.

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить задачи на условные законы распределения составляющих двумерной случайной величины

3.2.13.1. Задана дискретная двумерная случайная величина

Y\X 3 6
10 0,25 0,10
14 0,15 0,05
18 0,32 0,13

Найти: а) условный закон распределения Y при условии, что X=6; б)построить линию регрессии X на Y.

Отв.:

3.2.13.2. Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами . Найти: а)двумерную плотность вероятности системы; б) плотности и условные плотности распределения составляющих.

Отв.:

3.2.13.3. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины .

Найти: а) постоянный множитель C; б) плотность распределения составляющих; в) условные плотности распределения составляющих.

Отв.:,

3.2.13.4. Двумерная случайная величина (X,Y) задана плотностью распределения .

Найти условные законы распределения вероятностей составляющих.

Отв.:,

3.2.13.5. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины в квадрате ; ; вне квадрата . Доказать, что X и Y — независимые случайные величины. Найти линию регрессии Y на X.

Отв.:

3.2.13.6. Плотность распределения двумерной непрерывной случайной величины
где .

Найти функцию регрессии X на Y.

Отв.:

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >