Решение рядов Фурье

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.14 Функциональный ряд вида

(12.2.16)

называется тригонометрическим рядом.

ПРИМЕР 12.2.27 Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , если .

Решение.

Функция удовлетворяет условиям Дирихле, следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье.

Находим :

(так как нечетная).

Определим и :

(так как есть функция нечетная как произведение четной функции на нечетную, то определенный интеграл в симметричных пределах интегрирования относительно нуля от нечетной функции равен нулю).

.

Таким образом, получаем ряд

Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равно среднему арифметическому ее пределов справа и слева, то есть равна нулю.

ПРИМЕР 12.2.28 Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , которая на отрезке задана равенством .

Решение.

График функции изображен на рис. 12.2.1 Как видно на рис. 12.2.1 функция на отрезке задана двумя формулами

и вычисление коэффициентов ряда Фурье по формулам (12.1.91), (12.1.101), (12.1.103) неудобно, так как в каждом из интегралов интервал интегрирования приходится разбивать на два: от до и от до . В то же время на отрезке функция гораздо проще, она задается одной формулой . Поэтому для вычисления коэффициентов ряда Фурье удобнее формулы (12.1.105)  при .

Тогда разложение функции в ряд Фурье будет иметь вид

.

Этот ряд дает заданную функцию во всех точках, кроме точек разрыва (то есть кроме точек ). В этих точках сумма ряда равна полусумме предельных значений функции справа и слева, в данном случае числу .

ПРИМЕР 12.2.29 Разложить в ряд Фурье функцию периода .

Решение.

Данная функция четная. Тогда ее ряд Фурье содержит только косинусы . Вычислим коэффициенты :

.

Таким образом, .

ПРИМЕР 12.2.30 Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом , которая определена следующим образом:

Решение.

Эта функция нечетная. Тогда ее ряд Фурье содержит только синусы . Вычислим коэффициент :

.

Следовательно, для рассматриваемой функции ряд Фурье имеет вид

.

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва.

ПРИМЕР 12.2.31 Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом , которая на отрезке задается равенством

Решение.

Определим коэффициенты Фурье

Таким образом, ряд Фурье для этой функции будет иметь вид

ПРИМЕР 12.2.32 Требуется разложить функцию на отрезке в ряд по синусам.

Решение.

Продолжая эту функцию нечетным образом, получим

, так что

.