Решение степенных рядов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.12 Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, (12.2.5)

где числа, называемые коэффициентами ряда.

Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку. Для того, чтобы убедиться в этом, докажем очень важную для всей теории степенных рядов теорему.

ТЕОРЕМА 12.2.8 (Абеля)

1. Если степенной ряд сходится при некотором значении , не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком значении , для которого ; если ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком x, для которого .

ТЕОРЕМА 12.2.9 Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.13 Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал от до , что для всякой точки , лежащей внутри интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек x, лежащих вне его, ряд расходится.

Число называется радиусом сходимости степенного ряда

Радиус сходимости степенного ряда определяется по формулам

(12.2.6)

Аналогично для определения радиуса сходимости можно использовать признак Коши

. (12.2.7)

ПРИМЕР 12.2.15 Определить интервал сходимости ряда

.

Решение.

Определим радиус сходимости по формуле (12.2.6), для чего запишем и .

и , тогда

.

Так как , то интервал сходимости будет иметь вид .

Проверим поведение ряда на концах интервала. Подставим в данный ряд вместо число: , получим числовой ряд . Полученный числовой знакопостоянный ряд является гармоническим рядом и расходится. При получаем числовой знакочередующийся ряд , который сходится, так как для него выполняются условия теоремы Лейбница, а именно: члены ряда убывают по абсолютной величине, то есть и . Следовательно, данный степенной ряд сходится на полуинтервале .

Отметим, что если , то интервал сходимости вырождается в точку, если , то интервал сходимости .

ПРИМЕР 12.2.16 Определить интервал сходимости ряда

.

Решение.

Вычислим радиус сходимости

.

Таким образом, интервал сходимости этого ряда состоит из всех вещественных чисел .

ПРИМЕР 12.2.17 Определить интервал сходимости ряда

.

Решение.

Вычислим радиус сходимости

. Итак, интервал сходимости вырождается в точку, то есть данный ряд сходится лишь при .

ПРИМЕР 12.2.18 Найти радиус сходимости ряда .

Решение.

Найдем радиус сходимости

При получим числовой ряд , который сходится, так как является обобщенным гармоническим рядом с .

При получим числовой знакочередующийся ряд , для которого выполняются условия теоремы Лейбница, и он сходится. Следовательно, областью сходимости данного ряда является отрезок .

ТЕОРЕМА 12.2.10 Степенной ряд в промежутке , где , всегда можно интегрировать почленно, то есть

,

где сумма ряда.

ПРИМЕР 12.2.19 Функциональный ряд сходится равномерно при , так как при ряд является геометрической прогрессией со знаменателем меньше , сумма его равна .

Проинтегрируем данный ряд от до , в результате чего получим ряд

.

Полученный ряд сходится равномерно при , согласно признаку Вейерштрасса. Тогда сумма полученного ряда .

ТЕОРЕМА 12.2.11 Степенной ряд внутри его интервала сходимости можно дифференцировать почленно, то есть

,

где сумма ряда.

Ряд Тейлора для функции f(x) имеет вид:

  (12.2.8)

На практике чаще всего приходится иметь дело со случаем, когда и функция разлагается в ряд непосредственно по степеням . При получается ряд, который называется рядом Маклорена; он имеет вид

   (12.2.9)

ПРИМЕР 12.2.20 Разложить функцию в ряд Маклорена. Для решения поставленной задачи воспользуемся выражением (12.1.56) из раздела 12.1.22, заменив на :

.(12.2.10)

Подставим в (12.2.10) t=-x; получим искомый ряд

.

который сходится абсолютно при любых .

Разложение функций в ряды Маклорена позволяет во многих случаях вычислять с большой точностью значения этих функций.

ПРИМЕР 12.2.21 Вычислить с точностью до пяти знаков .

Решение.

Воспользуемся разложением (1), положив

. Значит, близко к единице. Остаточный член r3 имеет вид

, где , так что близко к единице. Поэтому ненаписанные члены в разложении не повлияют на первые пять знаков после запятой, их можно отбросить.

Тогда .

Иногда при вычислении значений функций удобно пользоваться почленным дифференцированием или интегрированием рядов.

ПРИМЕР 12.2.22 Вычислить .

Решение.

В разложении (12.1.66) раздел 12.1.24, заменив на , получим

(12.2.11)

Ряд (12.2.11) сходится равномерно при , поэтому его можно почленно интегрировать. Выполнение этого интегрирования от до нам дает

В частности, при имеем

(12.2.12)

Полученный ряд знакочередующийся. Поэтому его остаток не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. Сохраняя в (12.2.12) два первых члена, получим, что с пятью верными знаками.

При помощи биномиального ряда можно вычислить значения корней из чисел, а также значений различных функций.

ПРИМЕР 12.2.23 Вычислить с точностью до .

Решение.

Представим в следующем виде:

.

Отсюда , а . Воспользуемся разложением в ряд, то есть разложением (12.1.67) раздела 12.1.24, тогда .

Получили числовой знакочередующийся ряд. По условию нужно вычислить с точностью до , поэтому все члены, которые по абсолютной величине меньше , можно отбросить. Проверим четвертый член

.

Значит, .

ПРИМЕР 12.2.24 Вычислить интеграл .

Решение.

Среди элементарных функций нет такой, производная которой равнялась бы . Вычислим этот интеграл разложением подынтегральной функции в степенной ряд. Заменяя в формуле  12.1.22 на , получим

поэтому

(12.2.13)

Подставляя в полученный ряд вместо a те или иные значения, можно вычислить интеграл при любом верхнем пределе.

Пусть требуется вычислить этот интеграл с тремя верными десятичными знаками, когда верхний предел интегрирования . Полагая в (12.2.13) , получим

(12.2.14)

Поскольку вычисление следует производить с тремя верными десятичными знаками, то погрешность не должна превышать . В правой части равенства (12.2.14) стоит знакочередующийся ряд. Поэтому в разложении необходимо сохранить столько членов, чтобы первый из отброшенных был меньше . Вычислим члены нашего ряда, начиная с четвертого:

Значит, если мы сохраним в ряде только первые шесть членов, то погрешность при этом будет по абсолютной величине меньше первого отброшенного, то есть седьмого (меньше, чем ). Окончательно получаем

.

ПРИМЕР 12.2.25 Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение.

Записываем решение в виде так как . Из начальных условий определяем :

От (12.2.15)

находим y’ и y" и подставляем в данное уравнение:

или .

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях ; получим

Найденные коэффициенты подставим в (12.2.15); получим ряд

Полученный ряд сходится при всех значениях x.

Способ последовательного дифференцирования заключается в следующем:

а) искомое решение разлагают в ряд Тейлора по степеням :

б) первые n коэффициентов заданы начальными условиями. Подставляя в уравнение   , определяем ;

в) последовательно дифференцируя уравнение  и подставляя , определяем коэффициенты ряда искомого решения.

ПРИМЕР 12.2.26 Найти решение дифференциального уравнения при начальных условиях .

Решение.

Запишем решение уравнения в виде

По условию . Подставим в дифференциальное уравнение , получим . Будем последовательно дифференцировать уравнение и подставлять значение , тогда

Полученные значения производных подставим в выражение .

Таким образом, если дифференциальное уравнение не сводится к квадратурам, то прибегают к приближенным методам интегрирования. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде ряда Тейлора.