Решения числовых рядов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.1 Выражение , где — члены бесконечной числовой последовательности, называется числовым рядом.

Числа называются членами ряда, а общим членом ряда. Для обозначения ряда применяют следующие записи:

или .

Зная общий член ряда, можно записать любой член ряда.

ПРИМЕР 12.2.1 Дан общий член ряда . Написать первые три члена ряда и й член.

Решение.

Если  

ТЕОРЕМА 12.2.1 Если числовой ряд сходится, то его общий член при неограниченном возрастании n стремится к нулю, то есть

.

ПРИМЕР 12.2.2 Гармонический ряд. Ряд вида

называется гармоническим. Для этого ряда выполняется необходимое условие сходимости .

Покажем, что этот ряд расходится. Известно, что возрастающая последовательность сходится и ее предел равен e:

; при этом . Логарифмируя это неравенство, имеем или, деля обе части на , .

При   ;

;

      ;

      

      .

Частичная сумма гармонического ряда, каждый член которой больше соответствующего члена суммы вида

, удовлетворяет неравенству , но , откуда следует, что .

Из рассмотренного примера следует, что рассмотренный признак не является достаточным признаком сходимости ряда.

ТЕОРЕМА 12.2.2 Если ряд сходится и , то и ряд сходится. Если же ряд расходится, а , то ряд расходится.

ПРИМЕР 12.2.3 Пользуясь теоремой 12.2.2, исследовать сходимость ряда .

Решение.

Проверим, выполняется ли для данного ряда необходимый признак сходимости знакоположительных рядов , ряд может сходиться.

Для доказательства сходимости применим теорему 12.2.2 Для сравнения рассмотрим ряд , который сходится, так как , причем . Следовательно, сходится и ряд .

Признак Даламбера. Если в ряде с положительными членами

отношение го члена к му при имеет (конечный) предел , то есть

,

1) при ряд сходится;

2) при ряд расходится;

3) при этот признак не решает вопроса о сходимости и расходимости.

ПРИМЕР 12.2.4 Исследовать сходимость числового ряда

Решение.

Запишем член ряда . Проверим необходимый признак сходимости

Необходимый признак выполняется, ряд может сходиться. Для установления сходимости применим признак Даламбера, для чего запишем член

. Тогда

.

Значит, в данном случае l=0<1 и ряд сходится.

Признак Коши. Если для ряда с положительными членами

, величина имеет конечный предел p приn->∞, то есть

, то

1) при ряд сходится;

2) при ряд расходится;

3) при этот признак не дает возможности определить сходимость или расходимость ряда.

ПРИМЕР 12.2.5 Исследовать сходимость ряда

.

Решение.

Определим

, ряд сходится.

Интегральный признак Коши. Пусть члены ряда                                        (12.2.1)

положительны и не возрастают, то есть и непрерывная невозрастающая функция, причем , тогда:

1) если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд (12.2.1);

2) если интеграл расходится, то расходится и ряд (12.2.1).

ПРИМЕР 12.2.6 Исследовать сходимость ряда , .

Решение.

Рассмотрим случай, когда . Тогда , так как .

Для данного случая необходимое условие сходимости не выполняется, ряд расходится. Применим интегральный признак для случая , положим . Это функция при непрерывная и монотонно убывающая. Рассмотрим интеграл

2. предел конечен, интеграл сходится, следовательно, ряд сходится.

3. интеграл расходится, тогда расходится ряд.

4. интеграл расходится, тогда расходится ряд.

Итак, ряд сходится при , при расходится. Данный ряд называется обобщенным гармоническим рядом. При получаем гармонический ряд , который расходится.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.2 Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

ТЕОРЕМА 12.2.3 Если знакопеременный ряд таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов, сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.3 Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.2.4 Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из  абсолютных величин его членов, расходится.

Условно сходящиеся ряды называют также неабсолютно сходящимися рядами.

ПРИМЕР 12.2.7 Исследовать сходимость ряда

, где любое число.

Решение.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда, то есть . Для доказательства сходимости полученного ряда применим признак сравнения. Сравнение данного ряда проведем с рядом , который сходится. Члены ряда больше соответствующих членов ряда , значит ряд сходится. Из сходимости ряда следует по теореме сходимость ряда .

ТЕОРЕМА 12.2.4 (Лейбница). Если у знакочередующегося ряда ,

, абсолютные величины членов ряда убывают и , то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

ПРИМЕР 12.2.8 Исследовать сходимость ряда

.

Решение.

Данный ряд знакопеременный. Для исследования его сходимости составляем ряд из абсолютных величин его членов, то есть ряд вида

.

Полученный ряд гармонический, который расходится. Применим теорему Лейбница, так как ряд знакочередующийся. Проверим выполнение условий этой теоремы: , то есть первое условие выполняется. второе условие также выполнено. Следовательно, ряд сходится, но ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится, то согласно определению 8 этот ряд сходится условно.

ПРИМЕР 12.2.9 Вычислить сумму ряда

с точностью .

Решение.

Исследуем на сходимость данный ряд. Для этого составим ряд из абсолютных величин его членов, то есть ряд вида

. Полученный ряд гармонический с . Поэтому он сходится. Тогда по признаку сравнения сходится и ряд

. Но этот ряд знакочередующийся. Согласно замечанию 2 ошибка, которая получается при замене данного ряда его частичной суммой, не превосходит по абсолютной величине члена . Чтобы достичь заданной точности, достаточно положить , откуда находим наименьшее , удовлетворяющее этому неравенству, то есть . Для вычисления суммы ряда с точностью достаточно взять сумму первых пяти слагаемых, то есть

. Сумма данного ряда с точностью равна .