Система двух случайных величин. Способы задания.

Двумерной называют случайную величину (X,Y), возможные значения которой есть пары чисел (x,y). Составляющие X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, то есть пар чисел и их вероятностей . Обычно закон распределения задают в виде таблицы, называемой матрицей распределения.

Y\X

Сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таблицы, равна единице.

Из данной таблицы закон распределения составляющей СВ X.

где , .

Аналогично можно найти закон распределения составляющей СВ Y.

Двумерную случайную величину (X,Y) (безразлично, дискретную или непрерывную) можно задать с помощью функции распределения F(x,y), которая определяет вероятность того, что X примет значение, меньшее x, Y — меньшее y.

.

Свойства функции распределения:

1);

2) ;

3) , где функция распределения составляющей X;

, где функция распределения составляющей Y.

При помощи функции распределения может быть найдена вероятность

.

Непрерывную двумерную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения. Плотностью совместного распределения вероятностей f(x,y) двумерной непрерывной случайной величины (X,Y)
называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:.

Свойства плотности распределения:

1) ;

2) .

Плотности распределения

составляющей X — ;

составляющей Y — .

Вероятность попадания случайной точки (X,Y) в область D определяется по формуле

.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 13.2.49. Два стрелка, независимо друг от друга, делают по одному выстрелу каждый. Случайная величина X — число попаданий первого стрелка, Y — число попаданий второго стрелка. Вероятность попадания при выстреле для первого стрелка 0,7; для второго стрелка — 0,4. Построить матрицу распределения системы случайных величин (X,Y) и законы распределения составляющих X и Y. Найти функцию распределения F(x,y).

Решение. Занесем возможные значения случайных величин X и Y в таблицу

X\Y 0 1
0
1

,

,

,

.

Итак,

X\Y 0 1
0 0,18 0,12
1 0,42 0,28

Напишем закон распределения составляющей

Y 0 1
P

,

.

Тогда

Y 0 1
P 0,6 0,4

Аналогично находится закон распределения составляющей x (складываются вероятности по столбцам).

x 0 1
P 0,3 0,7

Значения функции распределения F(x,y) находим на основании матрицы распределения

X\Y
0 0 0
0 0,18 0,18+0,12
0 0,18+0,42 0,18+0,12+0,42+0,28

Окончательно,

X\Y
0 0 0
0 0,18 0,3
0 0,6 1

ПРИМЕР 13.2.50. Задана двумерная плотность вероятности системы (X,Y) двух случайных величин. Найти постоянную C и плотности распределения составляющих системы.

Решение. Воспользуемся свойством .

Тогда, .

Найдем плотность распределения составляющей X

Аналогично можно найти плотность распределения составляющей Y.

ПРИМЕР 13.2.51. Найти вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми , , если известна функция распределения

.

Решение. Положив в формуле

,

получим

ПРИМЕР 13.2.52 В круге двумерная плотность вероятности ; вне круга . Найти вероятность попадания случайной точки (x,y) в круг радиуса с центром в начале координат.

Решение: Пусть область круг радиуса с центром в начале координат, тогда

.

Перейдем к полярным координатам:

.

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить задачи, используя формулы расчета вероятности для системы двух случайных величин

3.2.11.1. Два игрока, независимо друг от друга, по два раза выбрасывают игральный кубик. Случайная величина X — число выпадений «шестерки» у первого игрока; Y — число выпадений «шестерки» у второго игрока. Построить матрицу распределения системы случайных величин (X,Y) и законы распределения составляющих. Найти функцию распределения F(x,y).

Отв.:

3.2.11.2. Найти вероятность того, что составляющая X двумерной случайной величины примет значение и при этом составляющая Y примет значение , если известна функция распределения системы .

Отв.:

3.2.11.3. Найти вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми , если известна функция распределения .

Отв.:

3.2.11.4. Найти плотность распределения системы двух случайных величин по известной функции распределения
.

Отв.:

3.2.11.5. Внутри прямоугольника, ограниченного прямыми , плотность распределения системы двух случайных величин ; вне прямоугольника . Найти: а) величину C; б) функцию распределения системы F(x,y).

Отв.:

3.2.11.6. Задана двумерная плотность вероятности системы случайных величин (X,Y). Найти постоянную C.

Указание: Перейти к полярным координатам.

Отв.:

3.2.11.7. В первом квадранте задана функция распределения системы двух случайных величин: . Найти: а)двумерную плотность распределения системы; б)вероятность попадания случайной точки (X,Y) в треугольник с вершинами .

Отв.:

3.2.11.8. Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) распределена равномерно внутри прямоугольника R, ограниченного абсциссами и ординатами . Найти: а)двумерную плотность вероятности системы; б)плотности распределения составляющих. Определить, зависимы или независимы случайные величины X и Y.

Отв.:

.

X и Y независимы,т.к. .

3.2.11.9. Точка (X,Y), изображающая объект на круглом экране радиолокатора, распределена с постоянной плотностью в пределах круга K радиуса r с центром в начале координат. Записать выражение совместной плотности f(x,y). Найти плотности отдельных величин, входящих в систему . Найти вероятность того, что расстояние от точки (X,Y) до центра экрана будет меньше .

Отв.:

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >