Геометрическое и статистическое определение вероятности

Если опыт сводится к бесконечному числу равновозможных случаев, то применяется геометрическое определение вероятности
,

где равно длине отрезка, если точки множества g расположены на прямой; равно площади фигуры, если точки множества g расположены на плоскости; равно объему тела, если точки множества g расположены в пространстве.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 13.2.19. Территория нефтебазы имеет форму прямоугольника со сторонами . На территории имеется емкость диаметром 10 м. (рис. 13.2.1). Какова вероятность поражения емкости бомбой, попавшей на территорию нефтебазы, если попадание бомбы в любую точку равновероятное?



Решение: Событие А — поражение емкости бомбой, попавшей на территорию нефтебазы , где площадь заштрихованного круга; площадь прямоугольника

.

ПРИМЕР 13.2.20. Дети бросают мяч диаметром 0,2м в щит с круглым отверстием диаметром 1м. Какова вероятность попадания в это отверстие?

Решение: Ход решения ясен из рисунка 13.2.2, на котором “благоприятная” зона заштрихована и имеет диаметр , где R=0,5м, r=0,1м.


.

Рис.13.2.2

Тогда искомая вероятность есть .

ПРИМЕР 13.2.21. Внутри круга с центром в точке (0,0) и радиусом R наудачу выбирается точка N(x,y). Найти вероятность события “ ”.

Решение: В плоскости XOY построим круг и прямые , которые разделят его на четыре области. На рисунке 13.2.3 “благоприятная” область показана штриховкой.



Рис.13.2.3

Непосредственно из рисунка ясно, что .

ПРИМЕР 13.2.22. Внутри квадрата с вершинами (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) наудачу выбирается точка А(x,y). Найти вероятность события “”.

Решение: В плоскости XOY построим заданный квадрат и прямые , которые разделят его на четыре области. На рисунке 13.2.4 “благоприятные” области показаны штриховкой.



Рис.13.2.4

Непосредственно из рисунка ясно, что .

ПРИМЕР 13.2.23. Найти вероятность того, что сумма двух наудачу взятых положительных правильных дробей не больше 0,5.

Решение: Обозначим через x и y данные дроби. По условию задачи . Рассмотрим событие A сумма дробей не больше 0,5, то есть .
Будем рассматривать x,y как декартовы координаты точки на плоскости. Пусть g — площадь заштрихованного треугольника, G — площадь квадрата.

ПРИМЕР 13.2.24. Стержень единичной длины произвольным образом разламывается на три части x,y и z. Найти вероятность того, что из этих частей можно составить треугольник.

Решение: Элементарное событие характеризуется двумя параметрами x и y, ибо . На них наложены ограничения .
Пусть площадь полученного треугольника. Тогда .

Чтобы можно было составить треугольник, необходимо, чтобы сумма двух любых сторон была больше третьей ;

Этим условиям соответствует заштрихованная область

; .

ПРИМЕР 13.2.25. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).

Решение: Пусть x и y моменты прихода соответственно первого и второго студентов. Будем изображать это событие точкой с координатами на плоскости . Выберем за начало отсчета 12 часов, а за единицу измерения – 1 час. Построим на плоскости пространство элементарных событий G. Это есть квадрат со стороной 1.



Рассмотрим событие A — студенты встретятся. Это событие произойдет, если разность между x и y по абсолютной величине не превзойдет 0,25 часа (15 минут), то есть . Область, «благоприятная» этому событию, заштрихована. Ее площадь равна площади всего квадрата без суммы площадей двух угловых треугольников.

.

Если элементарные исходы испытания неравновозможны, то нельзя применять классическое определение вероятности. Вводится статистическое определение вероятности (относительная частота события).

,
где N — общее число произведенных испытаний,
M — число испытаний, в которых событие A наступило.

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить задачи, используя формулы расчета геометрической и статистической вероятности

1. На отрезок OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлена точка B(x). Найти вероятность того, что меньший из отрезков OB и BA имеет длину меньшую чем L/3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Отв.: 2/3

2. После бури на участке между 40-м и 55-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии?

Отв.: 1/3

3. В круг вписан квадрат. Найти вероятность того, что:
а) точка, брошенная наудачу внутрь круга, окажется и внутри квадрата;
б) из пяти точек, брошенных наудачу внутрь круга, одна окажется внутри квадрата и по одной точке попадет на каждый сегмент.
Предполагается, что вероятность попадания точки на какую-либо часть круга зависит только от площади этой части и пропорциональна ей.

Отв.:a) 0,63

4. Считается равновероятным попадание реактивного снаряда в любую точку площади в . Определить вероятность попадания снаряда в мост, находящийся на этой площади, если его длина 200 м и ширина 10 м.

Отв.: 0,2

5. В круге радиуса R проводятся хорды параллельно заданному направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды не более R, если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным выбранному направлению?

Отв.:0,134

6. К автобусной остановке через каждые четыре минуты подходит автобус линии A и через каждые шесть минут – автобус линии B . Интервал времени между моментами прихода автобуса линии A и ближайшего следующего автобуса линии B равновозможен в пределах от нуля до четырех минут. Определить вероятность того, что а) первый подошедший автобус окажется автобусом линии A; б) автобус какой-либо линии подойдет в течение двух минут.

Отв.:a) 2/3 б) 2/3

7. Какова вероятность того, что из трех взятых наудачу отрезков длиной не более можно построить треугольник?

Отв.: 1/2

8. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что произведение xy будет не больше единицы, а частное y/x не больше двух.

Отв.:

9. Внутри квадрата с вершинами (-1,-1),(-1,0),(0,0),(0,-1) наудачу выбирается точка А(x,y). Найти вероятность события “ ”.

Отв.: 0,16

10. Внутри прямоугольника с вершинами (-1,-1),(-1,1),(1,1), (1,-1) наудачу выбирается точка M(x,y). Найти вероятность события “”.

Отв.: 0,81

11. Внутри квадрата с вершинами (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) наудачу выбирается точка R(x,y). Найти вероятность события “ ”.

Отв.:

12. Внутри круга с центром в точке (0;0) и радиусом 1 наудачу выбирается точка P(x,y). Найти вероятность события “”.

Отв.:

13. Внутри квадрата с вершинами (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) наудачу выбирается точка N(x,y). Найти вероятность события “”.

Отв.:

14. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает единицы. Найти вероятность того, что сумма x+y не превышает единицы, а произведение xy не меньше 0,09.

Отв.:

15. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу брошена монета радиуса r < a. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

Отв.:

16. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной a наудачу брошена монета радиуса . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из сторон квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади фигуры и не зависит от ее расположения.

Отв.:

17. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения.

Отв.:

18. (Задача Бюффона) Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу бросают иглу длины . Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.

Отв.:

19. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

Отв.: 0,05

20. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов.

Отв.: 102

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >