Предельные теоремы теории вероятностей

Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины X, имеющей математическое ожидание m и дисперсию , справедливы неравенства:

или .

Теорема Чебышева. Если попарно независимые случайные величины с конечными математическими ожиданиями, дисперсии которых ограничены одним и тем же числом , то есть

,

то

.

Если математическое ожидание всех случайных величин равны, то есть

то

.

Замечание. Для случайных величин с равными математическими ожиданиями теорему Чебышева можно записать в виде

.

с равными дисперсиями

.

Теорема Бернулли. Пусть X — число «успехов» в схеме Бернулли с n испытаниями, p — вероятность «успеха» в одном испытании. Тогда для любого ,

.

Замечание 1. Учитывая замечание к теореме Чебышева теорему Бернулли можно записать

.

Замечание 2. Так как величина достигает максимума 0,25 при , то

.

Центральная предельная теорема в грубой формулировке выглядит так: если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

Сформулируем более точно.

Теорема. Пусть . независимые случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями , причем

,

то при закон распределения случайной величины неограниченно приближается к нормальному.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 13.2.59. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время T равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время T окажется: а) меньшее двух; б) не меньше двух.

Решение. а) Пусть X — дискретная случайная величина, характеризующая число отказавших элементов за время T. Тогда

; .

Воспользуемся неравенством Чебышева

; .

б) События и противоположны, поэтому .

ПРИМЕР 13.2.60. Гнутая монета подбрасывается 100 раз. Герб выпал 70 раз. Оценим вероятность выпадения герба для этой монеты.

Решение. Возьмем . Тогда получим

, то есть с вероятностью 0,75 оцениваемое значение принадлежит интервалу ;

.

Для получим с вероятностью не менее 0,9375.

В качестве оценки p берем относительную частоту .

При увеличении числа испытаний n мы будем получать с вероятностью, близкой к единице, все более маленькие интервалы для оценки теоретической вероятности .

ПРИМЕР 13.2.61. На полосу укреплений противника сбрасывается 100 серий бомб. При сбрасывании одной такой серии математическое ожидание числа попаданий равно 2, а среднее квадратическое отклонение числа попаданий равно 1,5.

Найти приближенно вероятность того, что при сбрасывании 100 серий в полосу попадает от 180 до 220 бомб.

Решение. Представим общее число попаданий как сумму чисел попаданий бомб в отдельных сериях:

, где число попаданий i-ой серии.

Будем считать число достаточным для того, чтобы можно было применить предельную теорему. Имеем: ;

. СВ X подчинена нормальному закону распределения.

.

ПРИМЕР 13.2.62. Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения

0
P

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Решение. Проверим конечность математических ожиданий и равномерную ограниченность дисперсий.

.

Таким образом, каждая из случайных величин имеет конечное математическое ожидание.

.

0
P

Так как все дисперсии равны, то они равномерно ограничены числом . Итак, поскольку все требования выполняются, к рассматриваемой последовательности случайных величин теорема Чебышева применима.

ПРИМЕР 13.2.63. В кассе учреждения имеется сумма (руб.). В очереди стоит лиц. Сумма X, которую надо выплатить отдельному лицу – случайная величина с математическим ожиданием (руб.) и средним квадратическим отклонением (руб.).
Найти вероятность того, что суммы d не хватит для выплаты денег всем людям, стоящим в очереди.

Решение. На основании центральной предельной теоремы для одинаково распределенных слагаемых при большом (n=20 практически можно считать «большим»), случайная величина , где сумма, которую надо выплатить i-ому лицу, имеет приближенно нормальное распределение с параметрами

; .

.

Суммы Y не хватит, следовательно, .

.

Итак, с вероятностью около 3% имеющейся в кассе суммы не хватит для выплаты всем, стоящим в очереди.

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить задачи на предельные теоремы теории вероятностей

3.2.14.1. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что любая случайная величина отклонится от своего математического ожидания: а) менее чем на три среднеквадратических отклонения; б) не менее, чем на , в) не менее, чем на .

Отв.:

3.2.14.2. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

X 0,1 0,4 0,6
P 0,2 0,3 0,5

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что .

Отв.:

3.2.14.3. Вероятность появления события в каждом испытании равна 1/4. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число X появлений события заключено в пределах от 150 до 250, если будет произведено 800 испытаний. Сравнить с результатом вычисления по интегральной теореме Лапласа.

Отв.:

3.2.14.4. Дано и . Используя неравенство Чебышева, найти .

Отв.: 0,3

3.2.14.5. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время T лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время T окажется: а)меньше трех; б)не меньше трех.

Отв.:

3.2.14.6. Сколько раз необходимо подбросить монету, чтобы вероятность отклонения относительной частоты выпадения «герба» от 1/2 на величину, не превосходящую 0.1, была бы не менее 0.9?

Отв.: 250 и более раз

3.2.14.7. Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения

0
P

Применимо ли к заданной последовательности теоремы Чебышева?

Отв.: Применима

3.2.14.8. Ответить на вопрос задачи 3.2.14.7 для последовательности случайных величин

X -a a
P

3.2.14.9. В условиях примера 2.14.5 определить: какую сумму a нужно иметь в кассе для того, чтобы вероятность того, что ее не хватит для выплаты всем стоящим, стала равна 0,005?

Отв.: 3691

3.2.14.10. Железнодорожный состав состоит из вагонов; вес каждого вагона в тоннах – случайная величина с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Число вагонов n — большое (несколько десятков). Локомотив может везти вес не больше q (тонн); если вес состава больше q (тонн), приходится прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что одного локомотива не хватит для перевозки состава.

Отв.:

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >