Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.16 Уравнение вида называется уравнением в полных дифференциалах, если выражение

(11.2.4)

представляет собой полный дифференциал некоторой функции u(x;y), т.е.,

если .

Согласно определения уравнение (11.2.4) примет вид . Отсюда общий интеграл данного уравнения.

Не всякое уравнение (11.2.4) будет уравнением в полных дифференциалах. Для того, чтобы уравнение (11.2.4) было уравнением в полных дифференциалах достаточно выполнения условия

. (11.2.5)

Если уравнение (11.2.4) – уравнение в полных дифференциалах, то

. Решая уравнение (а) получим, что , требуется найти , которое находим, решая уравнение (б). . Из последнего уравнения находим , а следовательно и .

Функция может быть найдена по формуле

,(11.2.6)

где x0 и y0 произвольны; их выбор ограничен единственным условием – интеграл в правой части должна иметь смысл.

Замечание 1. Если дифференциальное уравнение первого порядка является одновременно однородным и в полных дифференциалах, то общий интеграл находится по формуле

. (11.2.7)

Если в уравнении (11.2.4) условие (11.2.5) не выполняется, т.е. , то уравнение (11.2.4) не является уравнением в полных дифференциалах. Иногда удается подобрать такой множитель , который называется интегрирующим множителем, при умножении которого на уравнение получается уравнение в полных дифференциалах.

Если у данного уравнения существует интегрирующий множитель, зависящий только от x, то он находится по формуле

,        (11.2.8)

зависящий только от по формуле

.         (11.2.9)

ПРИМЕР 11.2.57 Решить уравнение

.

Решение.

Проверим, является ли данное уравнение в полных дифференциалах. .

уравнение в полных дифференциалах.

Следовательно, левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции , т.е.

.

Проинтегрируем уравнение (а) по :

.

От найденного u берем частную производную по y и приравниваем Q(x,y)

интегрируя, подставляем в общий интеграл.

ПРИМЕР 11.2.58 Решить уравнение по формуле (11.2.6)

.

Решение.

.

уравнение в полных дифференциалах.

Найдем общий интеграл по формуле (11.2.6) .

;

.

.

Пусть , тогда общий интеграл.

ПРИМЕР 11.2.59 Решить уравнение .

Решение.

Данное уравнение однородное, так как функции и однородные функции второй степени. Одновременно данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, так как и . Согласно замечания (11.2.4), общий интеграл будет иметь вид

.

ПРИМЕР 11.2.60 Решить уравнение

.

Решение.

уравнение не в полных дифференциалах.

Исследуем выражение . Данное уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от . Найдем этот интегрирующий множитель.

. Умножив исходное уравнение на , получим: .

.

полученное уравнение в полых дифференциалах. Таким образом, имеем

. Интегрируя уравнение (а) по y, получим:

.

.

общий интеграл.

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Найти общий интеграл.

11.2.61 ;
Отв.
11.2.62 ;
Отв.
11.2.63
Отв.
11.2.64 ;
Отв.
Найти частный интеграл.
11.2.65 ,

начальное условие: .
Отв. .

11.2.66 ,
начальное условие:
Отв.

11.2.67

начальное условие:
Отв.

11.2.68 ,
начальное условие:
Отв.
11.2.69
Отв.
11.2.70

Отв.

11.2.71
Отв.