Применение биномиального ряда к разложению других функций в ряд Маклорена

Пусть дана функция . Требуется разложить ее в ряд Маклорена. Для решения поставленной задачи воспользуемся разложением (12.1.68) из 12.1.24, заменив в нем x на , получим

.    (12.1.69)

Ряд (12.1.69) можно почленно интегрировать при на основании теоремы о почленном интегрировании степенного ряда, тогда

(12.1.70)

Ряд (12.1.70) сходится в интервале . отметим без доказательства, что данный ряд сходится и при .

Пусть дана функция . Требуется разложить ее в ряд Маклорена. Для решения поставленной задачи проинтегрируем ряд (12.1.61) от до , где . На основании теоремы о почленном интегрировании, получим

(12.1.71)

Ряд (12.1.71) сходится в интервале , причем он сходится и при (без доказательства).

Если в (12.1.71) заменить на , то получим разложение функции в степенной ряд, то есть

  (12.1.72)

где .