Биномиальный ряд

Разложим в ряд Маклорена функцию

 ,(12.1.60)

где произвольное постоянное число. К разложению данной функции в ряд подойдем иначе в силу трудности оценки остаточного члена.

Заметим, что функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

 (12.1.61)

и условию . Найдем степенной ряд, сумма которого удовлетворяет уравнению (12.1.61) и условию .

   (12.1.62)

Подставим ряд (12.62) в уравнение (12.61), получим

или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , учитывая получим

.

Отсюда для коэффициентов ряда получаем выражение

(12.1.63)

Полученные коэффициенты (12.1.63), которые называются биномиальными, подставим в (12.1.62), получим

 (12.1.64)

Полученный ряд (12.1.64) называется биномиальным рядом.

Если целое положительное число, то, начиная с члена, содержащего , все коэффициенты равны нулю, и ряд превращается в многочлен. При дробном или при m целом отрицательном имеем ряд (12.1.64).

Определим радиус сходимости ряда (12.1.64):

.

Следовательно, в интервале ряд сходится и представляет функцию , удовлетворяющую дифференциальному уравнению (12.1.61) и начальному условию .

Так как дифференциальному уравнению (12.1.61) и условию удовлетворяет единственная функция, то, следовательно, сумма ряда (12.1.64) тождественно равна функции , мы получаем разложение

(12.1.65)

Частные случаи биномиального ряда.

При получаем.

.    (12.1.66)

При

 (12.1.67)

При имеем

(12.1.68)