Вычисление значений функций при помощи рядов

Разложение функций в ряды Маклорена позволяет во многих случаях вычислять с большой точностью значения этих функций.

ПРИМЕР 12.1.20 Вычислить с точностью до пяти знаков .

Решение. Воспользуемся разложением , положив

. Значит, близко к единице. Остаточный член имеет вид

, где , так что близко к единице. Поэтому ненаписанные члены в разложении не повлияют на первые пять знаков после запятой, их можно отбросить.

Тогда .

Иногда при вычислении значений функций удобно пользоваться почленным дифференцированием или интегрированием рядов.

ПРИМЕР 12.1.21 Вычислить .

Решение. В разложении (12.1.70), заменив на , получим

(12.1.73)

Ряд  сходится равномерно при , поэтому его можно почленно интегрировать. Выполнение этого интегрирования от до нам дает

(12.1.74)

В частности, при имеем

(12.1.75)

Полученный ряд знакочередующийся. Поэтому его остаток не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. Сохраняя в (12.1.75) два первых члена, получим, что с пятью верными знаками.

При помощи биномиального ряда можно вычислить значения корней из чисел, а также значений различных функций.

ПРИМЕР 12.1.22 Вычислить с точностью до .

Решение. Представим в следующем виде:

.

Отсюда , а . Воспользуемся разложением в ряд, то есть разложением (12.65), тогда .

Получили числовой знакочередующийся ряд. По условию нужно вычислить с точностью до , поэтому все члены, которые по абсолютной величине меньше , можно отбросить. Проверим четвертый член

.

Значит, .