Вычисление определенных интегралов с помощью рядов

Вычислениями значений функций приложения теории рядов далеко не исчерпываются. При помощи рядов можно вычислять определенные интегралы. К вычислениям определенных интегралов с помощью рядов прибегают в том случае, когда интегралы не выражаются в конечном виде через элементарные функции.

ПРИМЕР 12.1.23 Вычислить интеграл .

Среди элементарных функций нет такой, производная которой равнялась бы . Вычислим этот интеграл разложением подынтегральной функции в степенной ряд. Заменяя в формуле (12.1.57)   на , получим

поэтому

(12.1.76)

Подставляя в полученный ряд вместо те или иные значения, можно вычислить интеграл при любом верхнем пределе.

Пусть требуется вычислить этот интеграл с тремя верными десятичными знаками, когда верхний предел интегрирования . Полагая в (12.1.76) , получим

  (12.1.77)

Поскольку вычисление следует производить с тремя верными десятичными знаками, то погрешность не должна превышать . В правой части равенства стоит знакочередующийся ряд. Поэтому в разложении необходимо сохранить столько членов, чтобы первый из отброшенных был меньше . Вычислим члены нашего ряда, начиная с четвертого:

Значит, если мы сохраним в ряде только первые шесть членов, то погрешность при этом будет по абсолютной величине меньше первого отброшенного, то есть седьмого (меньше, чем ). Окончательно получаем

.