Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1.6 Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Пусть

(12.1.21)

знакопеременный ряд. Некоторую информацию об этом ряде можно получить, рассматривая ряд

, (12.1.22)

членами которого являются абсолютные величины членов знакопеременного ряда (12.1.21). Ряд (12.1.22) является рядом с положительными членами, поэтому его можно изучать на основании приемов, изложенных выше. Между сходимостью ряда (12.1.21) и сходимостью ряда (12.1.22) существует связь, которая устанавливается следующей теоремой.

ТЕОРЕМА 12.1.7 Если знакопеременный ряд таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов, сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.

Доказательство. Пусть частичная сумма ряда

, частичная сумма ряда

, а сумма всех положительных членов ряда (12.21),

сумма абсолютных величин всех отрицательных членов среди первых

членов данного ряда: тогда .

По условиям теоремы ряд, составленный из абсолютных величин, сходится: значит, имеет . Суммы и положительные возрастающие величины, меньше . Следовательно, они имеют пределы, то есть и . Так как , имеет предел, то есть

Так как частичная сумма ряда и она имеет предел, то данный ряд сходится, то есть знакопеременный ряд сходится.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1.7 Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1.8 Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из  абсолютных величин его членов, расходится.

Условно сходящиеся ряды называют также неабсолютно сходящимися рядами.

ПРИМЕР 12.1.7. Исследовать сходимость ряда

, где любое число.

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда, то есть . Для доказательства сходимости полученного ряда применим признак сравнения. Сравнение данного ряда проведем с рядом , который сходится. Члены ряда больше соответствующих членов ряда , значит ряд сходится. Из сходимости ряда по теореме 12.7 следует сходимость ряда .