Знакочередующиеся ряды

Рассмотрим ряд, члены которого имеют чередующиеся знаки, то есть ряд вида

, где

или . (12.1.23)

ТЕОРЕМА Лейбница. Если у знакочередующегося ряда ,

, абсолютные величины членов ряда убывают и , то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Доказательство. 1. Рассмотрим сумму первых членов ряда , то есть

.(12.1.24)

Правую часть (12.1.24) запишем в виде

.(12.1.25)

Из условия теоремы следует, что разность в скобках (12.1.25) положительна. Следовательно, сумма положительна и возрастает с возрастанием .

Докажем, что она ограничена. Для этого представим следующим образом:

.(12.1.26)

В силу условия каждая разность в скобках (12.1.26) положительна. Поэтому в результате вычитания выражения в скобках из получим число, меньшее, чем , то есть .

Таким образом, при возрастании m возрастает и ограничена сверху. Следовательно, по теореме о пределе монотонной переменной она имеет предел , причем .

2. Чтобы доказать сходимость ряда , нужно доказать еще, что «нечетные» частичные суммы также стремятся к . Рассмотрим сумму первых членов ряда

.  (12.1.27)

По условию теоремы , следовательно, ,

тогда

.

Тем самым доказали, что (как при четном, так и при нечетном). Следовательно, ряд сходится.

Замечание 1. На рис. 12.2 наглядно показано, что по мере возрастания числа членов частичные суммы возрастают, а частичные суммы убывают, приближаясь к сумме ряда .

ПРИМЕР 12.1.8 Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Данный ряд знакопеременный. Для исследования его сходимости составляем ряд из абсолютных величин его членов, то есть ряд вида

.

Полученный ряд гармонический, который расходится. Применим теорему Лейбница, так как ряд знакочередующийся. Проверим выполнение условий этой теоремы: , то есть первое условие выполняется. второе условие также выполнено. Следовательно, ряд сходится, но ряд, составленный из абсолютных величин его членов расходится, то согласно определению 8 этот ряд сходится условно.

Замечание 2. Теорема Лейбница позволяет оценить ошибку, которая получается, если заменить его сумму частичной суммой . При такой замене мы отбрасываем все члены ряда, начиная с , то есть получаем ряд вида

.(12.1.28)

Здесь остаток ряда, представляет собой знакочередующийся ряд, удовлетворяющий теореме Лейбница. По теореме Лейбница сумма ряда (12.1.28) не превосходит по абсолютной величине члены , то есть . Таким образом, пользуясь приближенным равенством , допускают ошибку, которая меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых членов.

ПРИМЕР 12.1.9 Вычислить сумму ряда

с точностью .

Решение. Исследуем на сходимость данный ряд. Для этого составим ряд из абсолютных величин его членов, то есть ряд вида

. Полученный ряд гармонический с . Поэтому он сходится. Тогда по признаку сравнения сходится и ряд

. Но этот ряд знакочередующийся. Согласно замечанию 2 ошибка, которая получается при замене данного ряда его частичной суммой, не превосходит по абсолютной величине члена . Чтобы достичь заданной точности, достаточно положить , откуда находим наименьшее , удовлетворяющее этому неравенству, то есть . Для вычисления суммы ряда с точностью достаточно взять сумму первых пяти слагаемых, то есть

. Сумма данного ряда с точностью равна .

Замечание 3. Теорема Лейбница остается в силе, если члены знакочередующегося ряда начинают убывать, начиная с некоторого .