Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение го порядка вида

. (12.1.78)

ТЕОРЕМА 12.1.18 Если коэффициенты и правая часть дифференциального уравнения (12.1.78) разлагается в степенные ряды по степеням , сходящиеся в некоторой окрестности , то решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

( произвольно заданные числа), разлагается в степенной ряд по степеням , сходящийся, по крайней мере, в меньшем из интервалов сходимости рядов для коэффициентов и правой части дифференциального уравнения.

Практически решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда можно получить двумя способами: сравнением коэффициентов и последовательным дифференцированием.

Способ сравнения коэффициентов заключается в следующем:

а) записываем решение в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами

    (12.1.79)

б) из начальных условий определяем значения коэффициентов

в) подставляем в дифференциальное уравнение вместо y и производных соответствующие степенные ряды, а также вместо коэффициентов и правой части записываем их разложения в степенные ряды по степеням и производим действия над рядами;

г) приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях  , откуда находим неизвестные коэффициенты искомого ряда.

ПРИМЕР 12.1.24 Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Записываем решение в виде так как . Из начальных условий определяем :

От     (12.1.80)

находим y’ и y" и подставляем в данное уравнение:

или .

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях ; получим

Найденные коэффициенты подставим в (12.1.80); получим ряд

Полученный ряд, как это следует из теоремы (12.1.78), сходится при всех значениях .

Способ последовательного дифференцирования заключается в следующем:

а) искомое решение разлагают в ряд Тейлора по степеням :

б) первые n коэффициентов заданы начальными условиями. Подставляя в уравнение , определяем ;

в) последовательно дифференцируя уравнение  и подставляя , определяем коэффициенты ряда искомого решения.

ПРИМЕР 12.1.25 Найти решение дифференциального уравнения при начальных условиях .

Решение. Запишем решение уравнения в виде

По условию . Подставим в дифференциальное уравнение , получим . Будем последовательно дифференцировать уравнение и подставлять значение , тогда

Полученные значения производных подставим в выражение .

Таким образом, если дифференциальное уравнение не сводится к квадратурам, то прибегают к приближенным методам интегрирования. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде ряда Тейлора.