Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов

ТЕОРЕМА 12.1.10 Почленное интегрирование функциональных рядов.

Если функции непрерывны на отрезке и составленный из них ряд сходится равномерно на этом отрезке, и имеет суммой функцию , то ряд составленный из интегралов от его членов на отрезке , также сходится и имеет суммой функцию , где .

Доказательство. В силу равномерной сходимости функционального ряда функция непрерывна на отрезке и поэтому интегрируема на любом отрезке с концами в точках и . Функцию S(x) можно представить в виде , где частичная сумма, остаток ряда, или

.

Тогда

(12.1.33) (интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме интегралов от этих слагаемых). Таким образом, сумма членов ряда отличается от интеграла дополнительным членом . Для доказательства теоремы нужно лишь установить, что . В силу равномерной сходимости ряда для найдется номер такой, что при сразу для всех в рассматриваемом промежутке. Поэтому

.

Так как при , то и из (12.1.33) получим

.      (12.1.34)

В (12.1.34) перейдем к пределу при , получим

       (12.1.35)

в силу (12.1.33) имеем

.          (12.1.36)

Сумма, стоящая слева в равенстве (12.1.36), есть частичная сумма ряда , она имеет конечный предел. Следовательно, ряд сходится и его сумма равна .

Тем самым доказаны сходимость ряда и равенство его суммы интегралу .

ПРИМЕР  12.1.13 Функциональный ряд сходится равномерно при , так как при ряд является геометрической прогрессией со знаменателем меньше , сумма его равна .

Проинтегрируем данный ряд от до , в результате чего получим ряд

.

Полученный ряд сходится равномерно при , согласно признаку Вейерштрасса. Тогда сумма полученного ряда .

ТЕОРЕМА 12.1.11 Почленное дифференцирование функциональных рядов Пусть ряд сходится на отрезке и имеет сумму , а его члены имеют на этом отрезке  непрерывные производные, причем ряд, составленный из этих производных , сходится равномерно на и имеет сумму . Тогда функциональный ряд сходится на отрезке равномерно и производная его суммы равна сумме ряда , то есть .

Доказательство. Так как ряд сходится равномерно на отрезке , то на основании теоремы (1) его можно почленно интегрировать от до x, где .

или

. По условию теоремы ряд сходится и его сумма равна ; сходится по условию и ряд , его сумма равна , тогда сходится и ряд . Поэтому

. Дифференцируя по обе части равенства, получим

.

Остается доказать, что ряд при выполнении условий теоремы равномерно сходится на отрезке . Из равенства

в силу доказанной сходимости рядов и следует, что

, но ряд равномерно сходится на отрезке на основании теоремы 9, а   сходящийся числовой ряд, то есть ряд , равномерно сходится на отрезке . Таким образом, при выполнении условий ряд равномерно сходится на отрезке и производная от суммы ряда равна сумме производных от членов ряда.

ПРИМЕР 12.1.14 Дан сходящийся на всей числовой оси функциональный ряд , сумма которого . Ряд, составленный из производных, то есть полученный из данного дифференцированием его членов , равномерно сходится на всей числовой оси, согласно признаку Вейерштрасса.

Показать, что , где сумма ряда . Данный

ряд и ряд удовлетворяют условиям теоремы 12.1.10

Следовательно, по доказанной теореме , то есть равна .