Интегрирование и дифференцирование степенных рядов

ТЕОРЕМА 12.1.15 Степенной ряд в промежутке , где , всегда можно интегрировать почленно, то есть

,

где сумма ряда.

Доказательство. Выберем число между и . Тогда  ряд сходится равномерно на отрезке , а по теореме о почленном интегрировании функциональных рядов на отрезке ряд можно почленно интегрировать.

ТЕОРЕМА 12.1.16 Степенной ряд внутри его интервала сходимости можно дифференцировать почленно, то есть

,

где сумма ряда.

Доказательство. Для любого можно выбрать два числа и  так, чтобы . Ввиду сходимости ряда его общий член ограничен: .

Тогда при

,

где .

Члены ряда для указанных значений , не превосходят соответствующих членов ряда:

. (12.1.45)

Принимая во внимание, что , ряд (1) по признаку Даламбера сходится. Поэтому ряд на отрезке сходится равномерно, а по теореме о почленном дифференцировании функциональных рядов ряд можно почленно дифференцировать на отрезке   и, в частности, при .

Следствие 1. Степенной ряд в интервале сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз, причем ряды, полученные в результате дифференцирования, сходятся в том же интервале.

Замечание. В теоремах (12.1.14) и (12.1.15) показано, что ряды и сходятся на интервале , следовательно, их радиусы сходимости не меньше . Но, в свою очередь, ряд получается почленным дифференцированием ряда и почленным интегрированием ряда , так что не может быть меньше упомянутых радиусов . Из сказанного вытекает, что радиусы сходимости рядов , и равны между собой.