Определение коэффициентов ряда методом Эйлера-Фурье

Для определения коэффициентов ряда укажем прием, который во второй половине XVIII века был применен Эйлером и независимо от него в начале XIX века – Фурье.

Предположим, что функция абсолютно интегрируема на отрезке , то есть имеет место разложение

(12.1.87)

и числовой ряд вида сходится.

Тогда ряд (12.1.87) равномерно сходится и, следовательно, его можно интегрировать почленно в промежутке от до . Используем это для вычисления коэффициента . Проинтегрируем обе части равенства в пределах от до :

.

Вычислим каждый интеграл отдельно

.  (12.1.88)

(12.1.89)

(12.1.90)

Таким образом, с учетом (12.1.87), (12.1.88), (12.1.89) равенство (12.1.90) примет вид

.  (12.1.91)

Для определения коэффициентов и нам понадобятся определенные интегралы

(12.1.92)

Рассмотрим следующие случаи:

1) пусть и целые числа и , тогда

 (12.1.93)

(в силу нечетности функции и )

 

так как и равны нулю. (12.1.94)

(12.1.94)

так как ;

2) пусть и целые числа и , тогда

(12.1.95)

в силу нечетности подынтегральной функции.

 (12.1.96)

 (12.1.97)

Теперь мы можем вычислить коэффициенты и .

Для отыскания коэффициента при каком-либо определенном значении умножим обе части равенства (12.1.87) на :

 (12.1.98)

В силу равномерной сходимости (12.1.98) его можно почленно проинтегрировать в пределах от до .

(12.1.99)

Принимая во внимание (12.1.89), (12.1.93), (12.1.94), (12.1.95), (12.1.96), нетрудно заметить, что все интегралы в правой части (12.1.99) равна нулю, кроме интеграла с коэффициентом . Следовательно,

,

.(12.1.100)

Аналогично умножая обе части (1) на и почленно интегрируя от до , получим

(12.1.101)

В силу (12.1.90), (12.1.92), (12.1.94), (12.1.95), (12.1.97) все интегралы правой части (12.1.101) равны нулю, кроме интеграла с коэффициентом .

Следовательно,

,

.(12.1.102)

Коэффициенты, определенные по формулам

.

называется коэффициентами Фурье функции , а тригонометрический ряд (12.1.87) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции .

Выясним, какими свойствами должна обладать функция, чтобы построенный для нее ряд Фурье сходился и, чтобы сумма построенного ряда Фурье равнялась значениям данной функции в соответствующих точках.