Определение интервала сходимости степенного ряда

Дан степенной ряд . Требуется определить его интервал сходимости. Для решения поставленной задачи поступаем следующим образом:

а) определяем радиус сходимости степенного ряда по формулам (12.1.43) или (12.1.44);

б) записываем интервал сходимости ;

в) проверим поведение ряда на концах интервала . В ряд вместо подставляем или , в результате чего получаем знакоположительные  или знакочередующиеся числовые ряды, к которым применяем соответствующие признаки сходимости;

г) если при числовые ряды сходятся, то данный степенной ряд сходится на отрезке .

Если при числовые ряды расходятся, то данный степенной ряд сходится на интервале .

Если при числовой ряд сходится, а при  расходится или, наоборот, при расходится, а при сходится, то данный степенной ряд сходится на полуинтервале или .

ПРИМЕР 12.1.15 Определить интервал сходимости ряда

.

Решение. Определим радиус сходимости по формуле (12.1.43), для чего запишем и .

и , тогда

.

Так как , то интервал сходимости будет иметь вид .

Проверим поведение ряда на концах интервала. Подставим в данный ряд вместо число: , получим числовой ряд . Полученный числовой знакопостоянный ряд является гармоническим рядом и расходится. При получаем числовой знакочередующийся ряд , который сходится, так как для него выполняются условия теоремы Лейбница, а именно: члены ряда убывают по абсолютной величине, то есть и . Следовательно, данный степенной ряд сходится на полуинтервале .

Отметим, что если , то интервал сходимости вырождается в точку, если , то интервал сходимости .

ПРИМЕР 12.1.16 Определить интервал сходимости ряда

.

Решение. Вычислим радиус сходимости

.

Таким образом, интервал сходимости этого ряда состоит из всех вещественных чисел .

ПРИМЕР 12.1.17 Определить интервал сходимости ряда

.

Решение. Вычислим радиус сходимости

. Итак, интервал сходимости вырождается в точку, то есть данный ряд сходится лишь при .