Остаток ряда

Пусть дан ряд

(12.1.5)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1.5 Сумма, членами которой являются члены ряда (12.1.5), начиная с го, взятые в том же порядке, что и в исходном ряде, называется n-м остатком ряда и обозначается

или

Частичная сумма сходящегося ряда отличается от его суммы на величину суммы остатка. Поэтому чем меньше сумма остатка ряда, тем точнее описывает соответствующая частичная сумма ряда сумму всего ряда.

ТЕОРЕМА 12.1.1 Если ряд (12.1.5) сходится, то сумма его го остатка при стремится к нулю.

Доказательство. Обозначим й остаток ряда через и будем для краткости называть просто остатком ряда, тогда

.(12.1.6)

В (12.1.6) перейдем к пределу при :

, так как ряд (12.1.5) по условию сходится, то .