Признак Даламбера

Признак Даламбера. Если в ряде с положительными членами

(12.1.9)

отношение го члена к му при имеет (конечный) предел l, то есть

,(12.1.10)

1) при ряд сходится;

2) при ряд расходится;

3) при этот признак не решает вопроса о сходимости и расходимости.

Доказательство. 1. Пусть для исследуемого ряда   . Рассмотрим число , удовлетворяющее соотношению . Тогда, начиная с некоторого номера из определения предела, для всех , выполняется неравенство

.

Действительно, так как , то разность между величиной и числом может быть сделана по абсолютной величине меньше любого положительного числа, в частности, меньше, чем , то есть

.(12.1.11)

Неравенство (3) может быть записано в виде

.(12.1.12)

Запишем правую часть неравенства (12.1.12) для различных , начиная с номера , получим

;

;

.

Рассмотрим два ряда

(12.1.13)

(12.1.14)

Ряд (12.1.14) есть ряд геометрической прогрессии со знаменателем q, . Следовательно, он сходится. Так как члены ряда (12.1.13) начиная с меньше соответствующих членов ряда (12.1.14), то на основании признака сравнения ряд (12.1.13) сходится.

2. Пусть . Тогда из равенства следует, что, начиная с некоторого номера (то есть для ) будет иметь место неравенство или , а это означает, что члены ряда возрастают и общий член ряда не стремится к нулю при , то есть нарушается необходимый признак сходимости, что приводит к расходимости исследуемого ряда.

ПРИМЕР 12.1.4 Исследовать сходимость числового ряда

Решение. Запишем n-й член ряда . Проверим необходимый признак сходимости

Необходимый признак выполняется, ряд может сходиться. Для установления сходимости применим признак Даламбера, для чего запишем член

. Тогда

.

Значит, в данном случае и ряд сходится.