Признак Коши

Признак Коши: Если для ряда с положительными членами

, величина имеет конечный предел при , то есть

, то

1) при ряд сходится;

2) при ряд расходится;

3) при этот признак не дает возможности определить сходимость или расходимость ряда.

Доказательство. 1. Пусть . Рассмотрим число , удовлетворяющее соотношению . Начиная с некоторого номера , будет иметь место соотношение  , откуда следует, что или для всех . Рассмотрим два ряда

     (12.1.15)

     (12.1.16)

Так как , то ряд (12.1.16) сходится. Члены ряда (12.1.15) меньше соответствующих членов ряда (12.1.16), начиная с . Следовательно, ряд (12.1.15) сходится на основании признака сравнения.

2. Пусть . Тогда, начиная с некоторого , или , то есть не выполняется необходимое условие сходимости ряда, ряд сходится.

ПРИМЕР 12.1.5 Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Определим

, ряд сходится.

Замечание. Признаки Даламбера и Коши основаны на сравнении данного ряда с рядом геометрической прогрессии. Эти признаки не являются чувствительными к рядам, сходящимся медленнее, чем геометрическая прогрессия. Для таких рядов рассматривают более сильные признаки, в частности, интегральный признак Коши.