Признак сравнения рядов с неотрицательными членами

ТЕОРЕМА 12.1.6 Если ряд сходится и , то и ряд сходится. Если же ряд расходится, а , то ряд расходится.

Доказательство. Пусть частичная сумма ряда , частичная сумма ряда . Так как ряд сходится, то его частичная сумма ограничена, то есть при всех , где некоторое число. Так как , то , а это значит, что частичная сумма ряда также ограничена, а этого достаточно для сходимости ряда с неотрицательными членами.

Если же ряд расходится, то ряд также расходится, так как предположив, что ряд сходится и , по условию, по выше доказанному должен сходиться и ряд , что противоречит условию. Значит, ряд расходится.

ПРИМЕР 12.1.3 Пользуясь теоремой 12.6, исследовать сходимость ряда .

Решение. Проверим, выполняется ли для данного ряда необходимый признак сходимости знакоположительных рядов , ряд может сходиться.

Для доказательства сходимости применим теорему 12.1.6. Для сравнения рассмотрим ряд , который сходится, так как , причем . Следовательно, сходится и ряд .

Следствие. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то из сходимости ряда с общим членом следует сходимость ряда с общим членом , и из расходимости первого ряда следует расходимость второго.