Признак сходимости числового ряда

ТЕОРЕМА 12.1.5 Если числовой ряд сходится, то его общий член при неограниченном возрастании n стремится к нулю, то есть .

Доказательство. Дан сходящийся числовой ряд , а это значит, что

,(12.1.7)

но и

, так как при (12.1.8)

Вычитая из (12.1.7) (12.1.8), получим

или

но .

Замечание. Если для некоторого ряда , то такой ряд расходится (достаточный признак расходимости).

ПРИМЕР 12.1.2 Гармонический ряд. Ряд вида

называется гармоническим. Для этого ряда выполняется необходимое условие сходимости .

Покажем, что этот ряд расходится. Известно, что возрастающая последовательность сходится и ее предел равен e:

; при этом . Логарифмируя это неравенство, имеем или, деля обе части на , .

При   ;

;

;

.

Частичная сумма гармонического ряда, каждый член которой больше соответствующего члена суммы вида

, удовлетворяет неравенству , но , откуда следует, что .

Из рассмотренного примера следует, что рассмотренный признак не является достаточным признаком сходимости ряда.