Разложение функций в ряд Фурье

Ряд Фурье функции будет сходиться и его сумма будет равна , если только сделать некоторые ограничительные предположения относительно функции . Эти ограничения сформулируем в виде определения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.1.20 Говорят, что функция периода удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке , если она непрерывна, или имеет конечное число точек разрыва первого ряда на этом отрезке и этот отрезок можно разбить на конечное число таких отрезков, в каждом из которых меняется монотонно. Одной из основных теорем рядов Фурье является следующая.

Теорема Дирихле. Если периодическая функция с периодом , заданная на отрезке , удовлетворяет на этом отрезке условиям Дирихле, то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда равна значению функции в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции , то есть если точка разрыва, то

      .

Данную теорему приводим без доказательства. Из этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк. Поэтому ряды Фурье нашли широкое применение в различных разделах математики.

ПРИМЕР 12.1.26 Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , если .

Функция удовлетворяет условиям Дирихле, следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье.

По формуле (12.1.91) находим :

(так как нечетная).

Определим и :

(так как есть функция нечетная как произведение четной функции на нечетную, то определенный интеграл в симметричных пределах интегрирования относительно нуля от нечетной функции равен нулю).

.

Таким образом, получаем ряд

Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равно среднему арифметическому ее пределов справа и слева, то есть равна нулю.

Замечание. Если функция периодическая с периодом , а любое число, то справедливо равенство

                       (12.1.103)

Так как периодическая с периодом , то

      .

Полагая при любых и , можно записать:

В частности, принимая , получим

                       (12.1.104)

Рассмотрим интеграл

.

Из доказанного вытекает, что при вычислении коэффициентов Фурье можно заменить промежуток интегрирования промежутком интегрирования , то есть можем положить:

.                      (12.1.105)

Покажем на примере, как доказанное свойство упрощает процесс нахождения коэффициентов в некоторых случаях.

ПРИМЕР 12.1.27 Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , которая на отрезке задана равенством .

График функции изображен на рис. 12.3 Как видно на рис. 12.3 функция на отрезке задана двумя формулами

и вычисление коэффициентов ряда Фурье по формулам (12.91), (12.101), (12.103) неудобно, так как в каждом из интегралов интервал интегрирования приходится разбивать на два: от до и от до . В то же время на отрезке функция гораздо проще, она задается одной формулой . Поэтому для вычисления коэффициентов ряда Фурье удобнее формулы (12.105) при .

Тогда разложение функции в ряд Фурье будет иметь вид

.

Этот ряд дает заданную функцию во всех точках, кроме точек разрыва (то есть кроме точек ). В этих точках сумма ряда равна полусумме предельных значений функции справа и слева, в данном случае числу .