Ряды по степеням

Ряды по степеням (x-x0)

Функциональный ряд вида

       (12.1.46)

называется степенным рядом по степеням разности . Нетрудно заметить, что при из ряда (1) получается известный степенной ряд . Следовательно, ряд является частным случаем ряда (12.1.46).

Для определения интервала сходимости ряда (12.1.46) сделаем в нем замену: . Тогда ряд (12.1.46) примет вид

.              (12.1.47)

Ряд (12.1.47) по степеням . Пусть интервал сходимости ряда (12.1.47) .

Отсюда следует, что ряд (12.1.46) будет сходиться при значениях , удовлетворяющих неравенству или и расходиться при . Следовательно, интервалом сходимости данного ряда будет интервал с центром в точке .

Замечание. Все сказанное о степенных рядах по степеням остается справедливым и для степенных рядов по степеням разности в соответствующих интервалах сходимости.

ПРИМЕР 12.1.18 Найти радиус сходимости ряда .

Решение. Найдем радиус сходимости

При получим числовой ряд , который сходится, так как является обобщенным гармоническим рядом с .

При получим числовой знакочередующийся ряд , для которого выполняются условия теоремы Лейбница, и он сходится. Следовательно, областью сходимости данного ряда является отрезок .